9603. В правильной пирамиде
SABC
точки
M
и
N
— середины рёбер
AB
и
BC
соответственно. На боковом ребре
SA
отмечена точка
K
. Сечение пирамиды плоскостью
MNK
является четырёхугольником, диагонали которого пересекаются в точке
Q
.
а) Докажите, что точка
Q
лежит на высоте пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостями
MNK
и
ABC
, если
AB=6
,
SA=12
и
SK=3
.
Ответ.
\arctg2\sqrt{11}
.
Решение. а) Пусть
O
— центр основания пирамиды,
L
— точка пересечения плоскости
MNK
с прямой
SC
.
Прямые
SO
и
ML
лежат в плоскости
CSM
и не параллельны, значит, они пересекаются. Аналогично, прямые
SO
и
KN
также пересекаются. Кроме того, прямые
ML
и
KN
пересекаются в точке
Q
. Итак, три прямые
SO
,
ML
и
KN
попарно пересекаются и не лежат в одной плоскости. Значит (см. задачу 8018), они проходят через одну точку — точку
Q
пересечения диагоналей четырёхугольника
MKLN
. Следовательно, точка
Q
лежит на высоте
SO
пирамиды.
б) Прямая
AC
параллельна плоскости
MNK
, так как она параллельна прямой
MN
, лежащей в этой плоскости (
MN
— средняя линия треугольника
ABC
). Значит, плоскости
ASC
и
MNK
пересекаются по прямой
KL
, параллельной
MN
(см. задачу 8004). Тогда четырёхугольник
MKLN
— равнобокая трапеция с основаниями
MN
и
KL
.
Пусть
P
— середина ребра
AC
,
D
— точка пересечения
MN
и
BP
,
E
— точка пересечения
KL
и
SP
. Тогда
D
— середина
BP
, а
SE:SP=SK:SA=1:4
. Плоскость
BSP
перпендикулярна прямой
MN
пересечения плоскостей
MNK
и
ABC
, поэтому искомый угол — это угол
PDE
.
Далее находим:
BP=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},~BO=\frac{2}{3}BP=2\sqrt{3},~OP=\frac{1}{3}BP=\sqrt{3},

SO=\sqrt{SB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{12^{2}-12}=2\sqrt{33}.

Из параллельности прямых
KL
и
AC
получаем, что
SL=SK=3
. Пусть
E'
— ортогональная проекция точки
E
на плоскость основания пирамиды. Тогда точка
E'
лежит на отрезке
OP
, причём
PE':OP=PE:PS=EE':SO=3:4.

Значит,
PE'=\frac{3}{4}OP=\frac{3\sqrt{3}}{4},~EE'=\frac{3}{4}SO=\frac{3\sqrt{33}}{2},

DE'=DP-PE'=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.

Следовательно,
\tg\angle PDE=\frac{EE'}{DE'}=\frac{\frac{3\sqrt{33}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}}=2\sqrt{11}.



Источник: ЕГЭ. — 2018