9604. В правильной пирамиде SABC
точки M
и N
— середины рёбер AB
и BC
соответственно. На боковом ребре SA
отмечена точка K
. Сечение пирамиды плоскостью MNK
является четырёхугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q
.
а) Докажите, что точка Q
лежит на высоте пирамиды.
б) Найдите QP
, где P
— точка пересечения плоскости MNK
и ребра SC
, если AB=SK=6
и SA=8
.
Ответ. \frac{3\sqrt{22}}{5}
.
Решение. а) Пусть O
— центр основания пирамиды, P
— точка пересечения плоскости MNK
с прямой SC
.
Прямые SO
и MP
лежат в плоскости CSM
и не параллельны, значит, они пересекаются. Аналогично, прямые SO
и KN
также пересекаются. Кроме того, прямые MP
и KN
пересекаются в точке Q
. Итак, три прямые SO
, MP
и KN
попарно пересекаются и не лежат в одной плоскости. Значит (см. задачу 8018), они проходят через одну точку — точку Q
пересечения диагоналей четырёхугольника MKPN
. Следовательно, точка Q
лежит на высоте SO
пирамиды.
б) Прямая AC
параллельна плоскости MNK
, так как она параллельна прямой MN
, лежащей в этой плоскости (MN
— средняя линия треугольника ABC
). Значит, плоскости ASC
и MNK
пересекаются по прямой KP
, параллельной MN
(см. задачу 8004). Тогда четырёхугольник MKPN
— равнобокая трапеция с основаниями MN
и KP
.
Из равностороннего треугольника ABC
и прямоугольного треугольника COS
находим, что
CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},~OC=\frac{2}{3}CM=2\sqrt{3},
SO=\sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{64-12}=2\sqrt{13}.
Пусть P'
— ортогональная проекция точки P
на плоскость основания пирамиды. Тогда точка P
лежит на отрезке OC
, причём
CP'=\frac{1}{4}OC=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}CM=\frac{1}{4}\cdot2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},~
MP'=OC-CP'=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2},
PP'=\frac{1}{4}SO=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Из подобия треугольников KQP
и NQM
получаем, что
\frac{PQ}{QM}=\frac{KP}{MN}=\frac{\frac{3}{4}AB}{\frac{1}{2}AB}=\frac{3}{2},
поэтому
QP=\frac{3}{5}MP=\frac{3}{5}\sqrt{MP'^{2}+PP'^{2}}=\frac{3}{5}\sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^{2}}=\frac{3}{5}\sqrt{22}.