9612. Площадь основания ABC
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна S
. Точки D
и E
— середины рёбер BC
и A_{1}B_{1}
соответственно. Рассматриваются треугольники, вершинами которых служат точки пересечения плоскостей, параллельных основаниям призмы, с отрезками BA_{1}
, AC_{1}
и DE
. Найдите наименьшее значение площади рассматриваемых треугольников.
Ответ. \frac{1}{8}S
.
Решение. Пусть A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— точки пересечения секущей плоскости с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
соответственно, а K
, N
и M
— с прямыми соответственно BA_{1}
, AC_{1}
и DE
. Через точки E
и D
проведём плоскость, параллельную боковым рёбрам призмы. Она пересекает отрезки A_{2}B_{2}
и B_{2}C_{2}
в их серединах P
и Q
соответственно.
Обозначим AB=a
, \frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}A}=\frac{A_{1}K}{A_{1}B}=x
, 0\lt x\lt1
. Тогда
C_{2}N=A_{2}K=ax,~A_{2}N=(1-x)a,~PQ=\frac{a}{2}-ax,~PM=\frac{ax}{2},~MQ=\frac{a(1-x)}{2}
(последние равенства следуют из того, что PQ
— средняя линия треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
и \frac{EM}{ED}=x
).
Площадь треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
равна S
, поэтому (см. задачи 3007 и 3000)
S_{\triangle KA_{2}N}=\frac{A_{2}K}{A_{2}B_{2}}\cdot\frac{A_{2}N}{A_{2}C_{2}}\cdot S=x(1-x)S,
S_{\triangle KPM}=\frac{PK}{PA_{2}}\cdot\frac{PM}{PQ}\cdot S_{\triangle A_{2}PQ}=x(1-2x)\frac{S}{4},
S_{\triangle NC_{2}Q}=\frac{C_{2}N}{C_{2}A_{2}}\cdot\frac{C_{2}Q}{C_{2}B_{2}}\cdot S_{\triangle A_{2}B_{2}C_{2}}=x\cdot\frac{1}{2}S=x\cdot\frac{S}{2},
S_{\triangle MNQ}=S_{\triangle MC_{2}Q}=\frac{MQ}{PQ}\cdot S_{\triangle PC_{2}Q}=(1-x)\frac{S}{4}.
Значит,
S_{\triangle KMN}=S_{A_{2}PQC_{2}}-S_{\triangle KA_{2}N}-S_{\triangle KPM}-S_{\triangle NC_{2}Q}-S_{\triangle MNQ}=
=\frac{3}{4}S-x(1-x)S-x(1-2x)\frac{S}{4}-x\cdot\frac{S}{2}-(1-x)\frac{S}{4}=
=S\left(\frac{3}{4}-x+x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}+\frac{x}{4}\right)=S\left(\frac{3}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}S(3x^{2}-3x+1).
Абсцисса вершины параболы y=\frac{1}{2}(3x^{2}-3x+1)
равна \frac{1}{2}\lt1
, значит, наименьшее значение площади треугольника KMN
достигается при x=\frac{1}{2}
. Следовательно,
S_{\min}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}-\frac{3}{2}+1\right)=\frac{1}{8}S.