9629. В каком отношении делит объём треугольной пирамиды плоскость, параллельная двум её скрещивающимся рёбрам и делящая одно из других рёбер в отношении 2:1
?
Ответ. 20:7
.
Решение. Первый способ. Пусть плоскость, параллельная противоположным рёбрам AB
и CD
треугольной пирамиды ABCD
, пересекает рёбра BC
, AC
, AD
и BD
в точках M
, N
, K
и L
соответственно, причём CM:MB=2:1
. Из условия задачи следует, что KLMN
— параллелограмм и CN:NA=DK:KA=DL:LB=CM:MB=2:1
.
Пусть объём пирамиды равен V
, высота DH
равна h
, а площадь основания ABC
равна S
. Тогда V=\frac{1}{3}Sh
. Треугольник NCM
подобен треугольнику ACB
с коэффициентом \frac{2}{3}
, значит, отношение их площадей равно \frac{4}{9}
. Тогда площадь трапеции ANMB
равна \frac{5}{9}S
.
На продолжении отрезков KL
и NM
за точки L
и M
отложим отрезки LP=\frac{1}{3}KL
и MQ=\frac{1}{3}NM
. Тогда AKMBPQ
— треугольная призма с боковыми рёбрами NQ=KP=AB
. Поскольку треугольник BMQ
подобен треугольнику CMN
с коэффициентом \frac{1}{2}
,
S_{\triangle BMQ}=\frac{1}{4}S_{\triangle MCN}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{9}S=\frac{1}{9}S,
S_{ABQN}=S_{ANMB}+S_{\triangle BMQ}=\frac{5}{9}S+\frac{1}{9}S=\frac{2}{3}S.
Пусть V_{1}
— объём призмы AKMBPQ
. Расстояние от её бокового ребра KP
до плоскости боковой грани ABQN
равно \frac{h}{3}
, поэтому (см. задачу 7237)
V_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}S\cdot\frac{h}{3}=\frac{1}{9}Sh=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}V.
Пусть h_{1}
— расстояние от бокового ребра AB
призмы AKMBPQ
до плоскости боковой грани KPMN
, площадь этой грани равна S_{1}
, а объём четырёхугольной пирамиды BLPQM
с вершиной B
равен V_{2}
. Тогда
V_{2}=\frac{1}{3}S_{LPQM}\cdot h_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}S_{1}h_{1}=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{2}S_{1}h=\frac{2}{9}V_{1},
а объём той части пирамиды ABCD
, которая содержит вершину A
, равен
V_{1}-V_{2}=V_{1}-\frac{2}{9}V_{1}=\frac{7}{9}V_{1}=\frac{7}{9}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{7}{27}V.
Тогда объём оставшейся части равен \frac{20}{27}V
. Следовательно, искомое отношение равно \frac{20}{7}
.
Второй способ. Пусть AB=a
, BC=b
, расстояние между прямыми AB
и CD
равно d
, а угол между этими прямыми равен \varphi
. Тогда объёмы v_{1}
и v_{2}
получившихся частей можно вычислить по формуле Симпсона (см. задачу 9628):
v_{1}=\frac{d}{18}\left(0+\frac{2}{3}a\cdot\frac{1}{3}b\sin\varphi+4\cdot\frac{5}{6}a\cdot\frac{1}{6}b\sin\varphi\right)=
=\frac{1}{18}\left(\frac{2}{9}abd\sin\varphi+\frac{5}{9}abd\sin\varphi\right)=\frac{7}{162}abd\sin\varphi.
v_{2}=\frac{d}{9}\left(0+\frac{2}{3}a\cdot\frac{1}{3}b\sin\varphi+4\cdot\frac{1}{3}a\cdot\frac{2}{3}b\sin\varphi\right)=
=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{9}abd\sin\varphi+\frac{8}{9}abd\sin\varphi\right)=\frac{10}{81}abd\sin\varphi.
Следовательно,
\frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{\frac{10}{81}abd\sin\varphi}{\frac{7}{162}abd\sin\varphi}=\frac{20}{7}.