9643. Прямая, проходящая через точку пересечения медиан тетраэдра ABCD
и центр его описанной сферы, пересекает рёбра AB
и CD
. Докажите, что AC=BD
и AD=BC
.
Указание. Точка пересечения медиан тетраэдра лежит на прямой, проходящей через середины противоположных рёбер (см. задачу 7108).
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
, O
— центр описанной сферы, P
и Q
— середины рёбер AB
и CD
соответственно, а P'
и Q'
— точки пересечения прямой OM
с этими рёбрами. Известно, что точка M
лежит на отрезке, соединяющем середины противоположных рёбер (см. задачу 7108). Допустим что прямые P'Q'
и PQ
различны. Они имеют общую точку M
, а значит, пересекаются в этой точке. Тогда точки P
, P'
, Q
и Q'
лежат в одной плоскости, что невозможно, так как AB
и CD
— скрещивающиеся прямые.
Итак, прямая OM
проходит через середины AB
и CD
. В равнобедренном треугольника COD
медиана OP
является высотой, значит, MP\perp CD
. Аналогично MQ\perp AB
. Значит, отрезок PQ
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Тогда описанный параллелепипед тетраэдра ABCD
(см. задачу 7041) — прямой. Его грани, содержащие рёбра AC
и BD
, — равные прямоугольники. Следовательно, AC=BD
. Аналогично AD=BC
.