9643. Прямая, проходящая через точку пересечения медиан тетраэдра ABCD
и центр его описанной сферы, пересекает рёбра AB
и CD
. Докажите, что AC=BD
и AD=BC
.
Указание. Точка пересечения медиан тетраэдра лежит на прямой, проходящей через середины противоположных рёбер (см. задачу 7108).
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
, O
— центр описанной сферы, P
и Q
— середины рёбер AB
и CD
соответственно, а P'
и Q'
— точки пересечения прямой OM
с этими рёбрами. Известно, что точка M
лежит на отрезке, соединяющем середины противоположных рёбер (см. задачу 7108). Допустим что прямые P'Q'
и PQ
различны. Они имеют общую точку M
, а значит, пересекаются в этой точке. Тогда точки P
, P'
, Q
и Q'
лежат в одной плоскости, что невозможно, так как AB
и CD
— скрещивающиеся прямые.
Итак, прямая OM
проходит через середины AB
и CD
. В равнобедренном треугольника COD
медиана OP
является высотой, значит, MP\perp CD
. Аналогично MQ\perp AB
. Значит, отрезок PQ
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Тогда описанный параллелепипед тетраэдра ABCD
(см. задачу 7041) — прямой. Его грани, содержащие рёбра AC
и BD
, — равные прямоугольники. Следовательно, AC=BD
. Аналогично AD=BC
.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.27, с. 103
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.33, с. 112
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 217, с. 31
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 6.2, с. 115