9644. Прямая, проходящая через точку пересечения медиан тетраэдра ABCD
и центр его вписанной сферы, пересекает рёбра AB
и CD
. Докажите, что AC=BD
и AD=BC
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
, I
— центр вписанной сферы, P
и Q
— середины рёбер AB
и CD
соответственно, а P_{1}
и Q_{1}
— точки пересечения прямой OM
с этими рёбрами. Известно, что точка M
лежит на отрезке, соединяющем середины противоположных рёбер (см. задачу 7108). Допустим что прямые P_{1}Q_{1}
и PQ
различны. Они имеют общую точку M
, а значит, пересекаются в этой точке. Тогда точки P
, P_{1}
, Q
и Q_{1}
лежат в одной плоскости, что невозможно, так как AB
и CD
— скрещивающиеся прямые. Следовательно, точки P_{1}
и Q_{1}
совпадают с P
и Q
соответственно, а прямая OI
проходит через середины рёбер AB
и CD
.
Итак, точка I
лежит на отрезке PQ
. Пусть r
— радиус вписанной сферы тетраэдра ABCD
. Тогда точка P
удалена от плоскостей ACD
и BCD
на одно и то же расстояние, равное r\cdot\frac{PQ}{IQ}
. Поскольку P
— середина AB
, плоскость CPD
разбивает тетраэдр ABCD
на два равновеликих тетраэдра с общим основанием PCD
, а так как высоты этих тетраэдров, проведённые из общей вершины P
равны, то их основания ACD
и BCD
равновелики.
Пусть M
, H
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно A
, P
и B
на прямую CD
. Поскольку грани ACD
и BCD
равновелики, их высоты AM
и CN
равны.
Рассмотрим ортогональную проекцию тетраэдра ABCD
на произвольную плоскость \alpha
, перпендикулярную прямой CD
. Пусть H'
— проекция точек M
, H
, Q
, N
C
и D
, а A'
, P'
и B'
— проекции точек A
, P
и B
. Равные отрезки AM
и BN
параллельны плоскости проекций, значит A'H'=B'H'
, а так как P'
— середина A'B'
(по свойству параллельных проекций), то H'P'
— медиана равнобедренного треугольника A'H'B'
. Следовательно, H'P'\perp A'B'
. Таким образом, ортогональная проекция A'B'
прямой AB
на плоскость \alpha
перпендикулярна прямой H'P'
этой плоскости. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах AB\perp H'P'
, а так как PQ\parallel P'H'
(эти прямые перпендикулярны проектирующей прямой CD
), то PQ\perp AB
. Это означает, что прямая, проходящая через середину P
ребра AB
перпендикулярно CD
, перпендикулярна ребру AB
. Аналогично докажем, что прямая, проходящая через середину Q
ребра CD
перпендикулярно AB
, перпендикулярна ребру CD
. Следовательно, PQ
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Тогда описанный параллелепипед тетраэдра ABCD
(см. задачу 7041) — прямой. Его грани, содержащие рёбра AC
и BD
, — равные прямоугольники. Следовательно, AC=BD
. Аналогично AD=BC
.