9682. Найдите наибольшее значение объёма треугольной пирамиды, у которой противоположные рёбра попарно равны, а сумма всех рёбер равна 36\sqrt{2}
.
Ответ. 72.
Указание. Достройте данную пирамиду до параллелепипеда, проведя через её противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей, и примените неравенства, связанные со средними величинами.
Решение. Поскольку противоположные рёбра тетраэдра попарно равны, его описанный параллелепипед прямоугольный (см. задачу 7994). Пусть рёбра тетраэдра равны a
, a
, b
, b
, c
, c
, измерения его описанного параллелепипеда — x
, y
, z
, а объём тетраэдра равен V
. Поскольку объём тетраэдра в три раза меньше объёма этого параллелепипеда (см. задачу 9265), V=\frac{1}{3}xyz
. Тогда
18\sqrt{2}=a+b+c=\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{x^{2}+z^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geqslant
\geqslant\sqrt{2yz}+\sqrt{2xz}+\sqrt{2xy}=\sqrt{2}(\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy})\geqslant
\geqslant\sqrt{2}\cdot3\sqrt[{3}]{{\sqrt{yz}\sqrt{xz}\sqrt{xy}}}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt[{3}]{{xyz}}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt[{3}]{{3V}},
откуда V\leqslant72
, причём равенство достигается в случае, когда x=y=z
. Но тогда a=b=c
, т. е. тетраэдр правильный. Следовательно, наибольшее значение объёма тетраэдра равно 72.