9691. Укажите точки на поверхности куба, из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.
Ответ. Все вершины куба, кроме концов этой диагонали.
Решение. Рассмотрим диагональ AC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Из каждой вершины куба, кроме A_{1}
и C
, эта диагональ видна под прямым углом. Докажем, что из других точек поверхности куба она видна под тупым углом.
Первый способ. Все вершины куба лежат на сфере с диаметром A_{1}C
. Из всех точек P
внутри сферы, отличных от точек диаметра A_{1}C
, этот диаметр виден под тупым угол (достаточно рассмотреть сечение сферы плоскостью A_{1}PC
и воспользоваться утверждением задачи 1772).
Второй способ. Пусть F
— центр грани ABCD
, т. е. ортогональная проекция центра O
куба на плоскость этой грани. Из неравенства FP\lt FC
следует неравенство OP\lt OC=\frac{1}{2}A_{1}C
. Значит, точка P
лежит внутри окружности с диаметром A_{1}C
. Следовательно, угол A_{1}PC
тупой.
Третий способ. Прямая AP
— ортогональная проекция прямой A_{1}P
на плоскость ABC
. Тогда
\cos\angle A_{1}PA=\cos\angle A_{1}PA\cdot\cos\angle APC
(см. задачу 7427).
Угол A_{1}PA
острый, так как треугольник A_{1}PA
прямоугольный с прямым углом при вершине A
, поэтому \cos\angle A_{1}PA\gt0
. Угол APC
тупой, так как точка P
лежит внутри окружности с диаметром AC
(см. задачу 1772). Значит, \cos\angle A_{1}PC\lt0
. Следовательно, угол A_{1}PC
тупой.
Четвёртый способ. Введём прямоугольную систему координат Axyz
, направив ось Ax
по лучу AD
, ось Ay
— по лучу AA_{1}
, ось Az
— по лучу AB
. Тогда нужные нам точки имеют координаты A(0;0;0)
, B(a;0;0)
, D(0;a;0)
, A_{1}(0;0;a)
, где a
— ребро куба. Пусть P(x;y;0)
— точка, лежащая в грани ABCD
и отличная от вершин куба. Тогда 0\lt x\leqslant a
, 0\lt y\leqslant a
(оба равенства одновременно выполняться не могут). Найдём стороны треугольника A_{1}PC
:
PC^{2}=(a-x)^{2}+(a-y)^{2},~PA_{1}^{2}=PA^{2}+AA_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+a^{2},~A_{1}C^{2}=3a^{2}.
Тогда по теореме косинусов
\cos\angle A_{1}PC=\frac{PA_{1}^{2}+PC^{2}-A_{1}C^{2}}{2PA_{1}\cdot PC}=\frac{2x^{2}-2ax+2y^{2}-2ay}{2PA_{1}\cdot PC}=
=\frac{2x(x-a)+2y(y-a)}{2PA_{1}\cdot PC}\lt0.
Следовательно, угол A_{1}PC
тупой. Что и требовалось доказать.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1967-1968, II тур, 10 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 365, с. 42
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2009-2010, XXXVI, окружной этап, задача 3, 11 класс