9703. Точки M
и N
— середины рёбер AB
и BC
правильного октаэдра SABCDP
с ребром 1 (ABCD
— квадрат). Найдите угол и расстояние между прямыми SM
и PN
.
Ответ. \arccos\frac{2}{3}
; \frac{2}{\sqrt{10}}
.
Решение. Пусть O
— центр квадрата ABCD
, K
— середина ребра AD
. Диагонали SP
и KN
четырёхугольника SKPN
делятся точкой O
пересечения пополам, значит, это параллелограмм. Тогда SK\parallel PN
, поэтому угол \alpha
между скрещивающимися прямыми SM
и PN
равен углу между пересекающимися прямыми SM
и SK
, т. е. углу MSK
. В треугольнике MSK
известно, что
SK=SM=\frac{\sqrt{3}}{2},~KM=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно,
\cos\alpha=\cos\angle MSK=\frac{SM^{2}+SK^{2}-MK^{2}}{2SM\cdot SK}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}{2\cdot\frac{3}{4}}=\frac{2}{3}.
Прямая PN
параллельна прямой SK
, лежащей в плоскости MSK
, значит, прямая PN
параллельна этой плоскости. Тогда расстояние d
между прямыми SM
и PN
равно расстоянию от любой точки прямой PN
до плоскости MSK
(см. задачу 7889), например, от точки N
.
Пусть E
— середина отрезка OC
, L
— точка пересечения отрезков OA
и MK
. Поскольку NE\parallel KM
, расстояние от точки N
до плоскости MSK
равно расстоянию от точки E
до этой плоскости, а так как O
— середина EL
, то это расстояние вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180).
Пусть OH
— высота прямоугольного треугольника LOS
. Прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SL
и KM
плоскости KMS
, значит, OH
— перпендикуляр к этой плоскости, и расстояние от точки O
до плоскости KMS
равно длине отрезка OH
. Из прямоугольного треугольника LOS
находим, что
OH=\frac{OL\cdot SO}{\sqrt{OL^{2}+SO^{2}}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Следовательно,
d=2OH=\frac{2}{\sqrt{10}}.