9705. Точки M
и N
— середины рёбер PB
и SC
правильного октаэдра SABCDP
с ребром 1 (ABCD
— квадрат). Найдите угол и расстояние между прямыми AM
и BN
.
Ответ. \arccos\frac{1}{6}
; 2\sqrt{\frac{3}{35}}
.
Решение. Пусть O
— центр квадрата ABCD
, L
— середина ребра SD
, K
— середина отрезка SL
. Диагонали AC
и ML
четырёхугольника AMCL
делятся точкой O
пересечения пополам, значит, это параллелограмм. Тогда CL\parallel AM
, а так как NK
— средняя линия треугольника CSL
, то KN\parallel CL\parallel AM
и NK=\frac{1}{2}CL=\frac{\sqrt{3}}{4}
.
Пусть E
— проекция точки K
на прямую BD
. Тогда KE
— перпендикуляр к плоскости ABCD
и OE:ED=SK:KD=1:3
. Тогда
KE=\frac{3}{4}SO=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{8},~BE=BO+OE=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{8}.
Из прямоугольного треугольника KBE
находим, что
BK^{2}=KE^{2}+BE^{2}=\frac{9}{32}+\frac{25}{32}=\frac{34}{32}=\frac{17}{16}.
Поскольку KN\parallel AM
, угол \alpha
между скрещивающимися прямыми AM
и BN
равен углу между пересекающимися прямыми KN
и BN
или дополняет его до 180^{\circ}
. По теореме косинусов
\cos\alpha=\left|\frac{BN^{2}+KN^{2}-BK^{2}}{2BN\cdot KN}\right|=\left|\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{16}-\frac{17}{16}}{2\cdot\frac{3}{8}}\right|=\frac{1}{6}.
Пусть V
— объём тетраэдра AMBN
, h
— расстояние от точки N
до плоскости APB
. Заметим, что SC\parallel AP
и SD\parallel PB
, поэтому плоскости CSD
и PAB
параллельны. Значит, расстояние от точки N
до плоскости APB
равно расстоянию между параллельными плоскостями CSD
и APB
(см. примечание к задаче 7889), т. е. длине отрезка, соединяющего середины противоположных сторон квадрата ASCP
. Значит, h=1
, а
V=\frac{1}{3}S_{\triangle AMB}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{8}\cdot1=\frac{\sqrt{3}}{24}.
С другой стороны (см. задачу 7234), если расстояние между прямыми равно d
, то
V=\frac{1}{6}AM\cdot BN\cdot d\sin\alpha=\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot d\cdot\sqrt{1-\frac{1}{36}}=\frac{d\sqrt{35}}{48}.
из равенства \frac{d\sqrt{35}}{48}=\frac{\sqrt{3}}{24}
находим, что d=2\sqrt{\frac{3}{35}}
.