9710. Докажите, что четыре плоскости, каждая из которых проведена через вершину тетраэдра и центр описанной окружности противоположной грани перпендикулярно этой грани, проходят через одну точку.
Решение. Пусть O_{1}
— центр окружности, описанной около грани ABC
тетраэдра ABCD
, DH
— высота тетраэдра. Поскольку плоскость \alpha
, проходящая через точки D
и O_{1}
, перпендикулярна плоскости ABC
, прямая DH
лежит в плоскости \alpha
(см. задачу 7710). Центр O
сферы, описанной около тетраэдра, лежит на прямой, проходящей через точку O_{1}
перпендикулярно плоскости ABC
(см. задачу 9056), значит, прямая OO_{1}
тоже лежит в плоскости \alpha
. Аналогично для остальных трёх плоскостей, о которых говорится в условии задачи. Следовательно, все четыре плоскости содержат центр O
описанной сферы тетраэдра ABCD
.