9732. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
с вершиной S
сторона основания AB
равна 8, а боковое ребро SA
равно 10. На рёбрах CD
и SC
отмечены точки N
и K
соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:7
. Плоскость \alpha
содержит прямую KN
и параллельна прямой BC
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
делит ребро SB
в отношении 1:7
, считая от вершины S
.
б) Найдите расстояние между прямыми SA
и KN
.
Ответ. \frac{\sqrt{357}}{21}
.
Решение. а) Плоскость BSC
проходит через прямую BC
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с плоскостью \alpha
общую точку K
, значит, плоскости BSC
и \alpha
пересекаются по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно BC
(см. задачу 8003).
Пусть прямые l
и SB
пересекаются в точке L
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках SL:LB=SK:KC=1:7
.
б) Пусть плоскость \alpha
пересекает ребро AB
в точке M
. Тогда LM\parallel SA
и AM:MB=SL:LB=1:7
.
Плоскости ASD
и \alpha
параллельны, так как пересекающиеся прямые AD
и SA
первой из них соответственно параллельны прямым MN
и ML
второй (см. задачу 8008). Следовательно, расстояние между прямыми SA
и KN
равно расстоянию между этими плоскостями.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
, H
— середина ребра BC
, T
— точка пересечения плоскости OSH
с ребром AD
, HF
— высота треугольника HST
, P
и Q
— точки пересечения плоскости OSH
с отрезками KL
и MN
соответственно. Поскольку KL\parallel BC\parallel MN
, точки P
и Q
— середины KL
и MN
, поэтому PQ\parallel ST
. Прямая HF
перпендикулярна пересекающимся прямым ST
и AD
плоскости ASD
, поэтому HF
— перпендикуляр к этой плоскости, а значит, и к параллельной ей плоскости \alpha
. Следовательно, расстояние между плоскостями ASD
и \alpha
равно длине отрезка EF
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Тогда SO
— высота пирамиды,
SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{10^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{100-32}=\sqrt{68}=2\sqrt{17},
ST=\sqrt{SA^{2}-AT^{2}}=\sqrt{10^{2}-4^{2}}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}.
Записав двумя способами площадь треугольника HST
, получим, что ST\cdot HF=HT\cdot SO
, откуда
HF=\frac{HT\cdot SO}{ST}=\frac{8\cdot2\sqrt{17}}{2\sqrt{21}}=\frac{8\sqrt{17}}{\sqrt{21}}.
Поскольку PQ\parallel ST
, треугольники HPQ
и HST
подобны, поэтому
\frac{HE}{FH}=\frac{HP}{HS}=\frac{HQ}{HT}=\frac{7}{8}.
Следовательно,
FE=\frac{1}{8}HF=\frac{1}{8}\cdot\frac{8\sqrt{17}}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{357}}{21}.