9736. В треугольной пирамиде SABC
все рёбра равны. Точка M
в пространстве такова, что MA=MB=MC=\sqrt{3}
и прямая AM
пересекается с высотой треугольника SBC
, опущенной из вершины B
. Найдите объём пирамиды SABC
.
Ответ. \frac{8}{3}
.
Решение. Поскольку все рёбра треугольной пирамиды SABC
равны, это правильный тетраэдр. Точка M
равноудалена от вершин равностороннего треугольника ABC
, поэтому M
лежит на прямой, содержащей высоту SO
тетраэдра.
Пусть его ребро равно a
, BK
и SL
— высоты равностороннего треугольника BSC
, N
— точка пересечения прямой AM
с отрезком BK
. Прямая BK
лежит в плоскости AKB
, а прямая SO
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой BK
, следовательно, BK
и SO
— скрещивающиеся прямые (см. задачу 8001).
Прямая AM
пересекает эти прямые в точках M
и N
, значит, эта прямая лежит и в плоскости AKB
, и в плоскости ASO
. Эти плоскости различны, поэтому AM
— их прямая пересечения. Значит, центр Q
грани BSC
также лежит на прямой AM
(как общая точка указанных плоскостей). Таким образом, точка M
лежит на высоте AQ
данного правильного тетраэдра, и M
— центр тетраэдра.
Тогда (см. задачи 7110 и 7040)
\sqrt{3}=AM=\frac{3}{4}AQ=\frac{3}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}},
откуда a=2\sqrt{2}
. Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}=\frac{(2\sqrt{2})^{3}\sqrt{2}}{12}=\frac{8}{3}.