9768. В тетраэдре
PABC
проведена высота
PH
. Из точки
H
на прямые
PA
,
PB
и
PC
опущены перпендикуляры
HA'
,
HB'
и
HC'
. Плоскости
ABC
и
A'B'C'
пересекаются по прямой
l
. Точка
O
— центр окружности, описанной около треугольника
ABC
. Докажите, что прямые
OH
и
l
перпендикулярны.
Решение. Заметим, точки
A'
,
B'
и
C'
лежат на окружности с диаметром
PH
, а
ABC
— касательная плоскость к этой сфере. Кроме того,
AP\cdot A'P=PH^{2}=PB\cdot PB'

(см. задачу 2728), так что точки
A
,
B
,
A'
,
B'
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Пусть
T
— точка пересечения прямых
AB
и
A'B'
. Имеем
TA\cdot TB=TA'\cdot TB'=TH^{2},

последнее равенство выполнено в силу того, что прямая
TH
— касательная к сфере с диаметром
PH
, а
TB'A'
— секущая. Следовательно, степень точки
T
относительно описанной окружности треугольника
ABC
равна степени точки
T
относительно точки
H
.
Таким образом, точка
T
лежит на радикальной оси окружности, описанной около треугольника
ABC
, и точки
H
(см. примечание к задаче 6391). Аналогично, на ней же лежит точка пересечения прямых
BC
и
B'C'
и точка пересечения прямых
AC
и
A'C'
. Значит, прямая
l
пересечения плоскостей
ABC
и
A'B'C'
и есть эта радикальная ось. Она перпендикулярна линии центров рассматриваемой окружности и точки
H
, т. е.
l\perp OH
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2016, второй тур, 11 класс