9773. Существует ли треугольная пирамида, каждое ребро основания которой видно из середины противолежащего угла под прямым углом?
Ответ. Нет.
Решение. Первый способ. Пусть SABC
— данная пирамида, в которой AB=c
, AC=b
, BC=a
, SA=x
, SB=y
, SC=z
; B_{1}
, C_{1}
и A_{1}
— середины рёбер SB
, SC
и SA
соответственно; B_{2}
, C_{2}
и A_{2}
— середины рёбер AC
, AB
и BC
соответственно.
Предположим, что
\angle AB_{1}C=\angle AC_{1}B=\angle BA_{1}C=90^{\circ}.
Тогда (см. задачу 1109)
C_{1}C_{2}=\frac{1}{2}AB,~B_{1}B_{2}=\frac{1}{2}AC.
Из теоремы о средней линии треугольника следует, что B_{1}C_{1}B_{2}C_{2}
— параллелограмм со сторонами
C_{1}B_{2}=B_{1}C_{2}=\frac{1}{2}AC=\frac{x}{2},~B_{1}C_{1}=B_{2}C_{2}=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},
и диагоналями
B_{1}B_{2}=\frac{1}{2}AC=\frac{b}{2},~C_{1}C_{2}=\frac{1}{2}AB=\frac{c}{2}.
По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
B_{1}B_{2}^{2}+C_{1}C_{2}^{2}=2(B_{1}C_{2}^{2}+B_{2}C_{1}^{2}),~\mbox{или}~\frac{b^{2}}{4}+\frac{c^{2}}{4}=2\left(\frac{x^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}\right).
После умножения на 4 получаем, что
b^{2}+c^{2}=2(x^{2}+a^{2}).
Аналогично,
a^{2}+c^{2}=2(y^{2}+b^{2}),~a^{2}+b^{2}=2(z^{2}+c^{2}).
Сложив эти три равенства, получим, что
2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(x^{2}+y^{2}+z^{2}),
откуда
x^{2}+y^{2}+z^{2}=0,
что невозможно.
Второй способ. Пусть
\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{x},~\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{y},~\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{z}.
Тогда
\overrightarrow{AC_{1}}=-\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z},~\overrightarrow{BC_{1}}=-\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z},
а т. е. по условию \overrightarrow{AC_{1}}\cdot\overrightarrow{BC_{1}}=0
, то
\left(-\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}\right)=0,~\mbox{или}~\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})\cdot\overrightarrow{z}+\frac{1}{4}\overrightarrow{z}^{2}=0.
Аналогично,
\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z})\cdot\overrightarrow{y}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}^{2}=0,~\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})\cdot\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{x}^{2}=0.
Сложив эти три равенства, получим
\frac{1}{4}(\overrightarrow{x}^{2}+\overrightarrow{y}^{2}+\overrightarrow{z}^{2})=0,
что невозможно.
Автор: Агаханов Н. Х.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1995-1996, 11 класс