9775. В треугольной пирамиде проведены три биссектрисы плоских углов при вершине пирамиды, а также три биссектрисы основания пирамиды. Известно, что основания двух пар проведённых биссектрис совпадают. Докажите, что и основания третьей пары биссектрис совпадают.
Решение. Пусть SA=a
, SB=b
, SC=c
— боковые рёбра треугольной пирамиды SABC
. Предположим, что совпадают основания биссектрис треугольников ASB
и ACB
, проведённых из вершин S
и C
, а также основания биссектрис треугольников BSC
и BAC
, проведённых из вершин S
и A
. Тогда по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CA}{CB}=\frac{SA}{SB}=\frac{a}{b}~\mbox{и}~\frac{AB}{AC}=\frac{SB}{SC}=\frac{b}{c}.
Значит,
\frac{BA}{BC}=\frac{CA}{CB}\cdot\frac{AB}{AC}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{a}{c}=\frac{SA}{SC},
откуда следует, что основания биссектрис треугольников ASC
и ABC
, проведённых из вершин S
и B
тоже совпадают (см. задачу 1510).