9776. В основание четырёхугольной пирамиды можно вписать окружность. Известно, что биссектрисы трёх плоских углов при вершине пирамиды попадают в точки касания этой окружности со сторонами основания. Докажите, что и биссектриса четвёртого плоского угла также попадает в точку касания окружности со стороной основания.
Решение. Пусть SA=a
, SB=b
, SC=c
и SD=d
— боковые рёбра четырёхугольной пирамиды SABCD
, а K
, L
, M
и N
— точки касания вписанной окружности четырёхугольника ABCD
со сторонами AB
, BC
, CD
и AD
соответственно. Предположим, что основания биссектрис треугольников ASD
, CSD
, BSC
проведённых вершины S
, совпадают с точками N
, M
и L
соответственно. Тогда по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{a}{d}=\frac{SA}{SB}=\frac{AN}{ND}=\frac{AK}{DM},
\frac{d}{c}=\frac{SD}{SC}=\frac{DM}{MC}=\frac{DM}{CL},
\frac{c}{b}=\frac{SC}{SD}=\frac{CL}{LB}=\frac{CL}{KB}.
Значит,
\frac{AK}{KB}=\frac{AK}{DM}\cdot\frac{DM}{CL}\cdot\frac{CL}{BK}=\frac{a}{d}\cdot\frac{d}{c}\cdot\frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\frac{SA}{SB},
откуда следует, что основания биссектрисы треугольника ASB
, проведённой из вершины S
, совпадает с точкой K
(см. задачу 1510).