9785. Найдите радиус шара, вписанного в тетраэдр ABCD
, если BD=BC=15
, CD=18
, а AB
перпендикулярно плоскости BCD
и равно 16.
Ответ. \frac{36}{11}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра CD
. В равнобедренных треугольниках CBD
и CAD
медианы BM
и AM
являются высотами. Из прямоугольных треугольников BMC
и AMB
находим, что
BM=\sqrt{BC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{144}=12,
AM=\sqrt{BM^{2}+AB^{2}}=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{400}=20.
Первый способ. Пусть O
— центр шара радиуса r
, вписанного в тетраэдр ABCD
, P
— точка касания с плоскостью BCD
. Тогда точка P
лежит на отрезке BM
. Шар вписан в двугранные углы тетраэдра при рёбрах CD
и BD
, значит, его центр O
лежит в биссекторной плоскости каждого из этих двугранных углов.
Сечение шара плоскостью AMB
— круг с центром O
радиуса r
, вписанный в угол AMB
(линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре CD
). Тогда луч MO
— биссектриса угла AMB
. Пусть Q
— точка пересечения MO
с ребром AB
. Тогда MQ
— биссектриса прямоугольного треугольника AMB
, поэтому (см. задачу 1509)
AQ:QB=AM:MB=20:12=5:3,
а так как AB=18
, то BQ=6
. Из подобия треугольников OPM
и QBM
получаем, что MP=BM\cdot\frac{OP}{BQ}=2r
. Тогда
BP=BM-MP=12-2r.
Пусть OH
— перпендикуляр, опущенный из точки O
на ребро BC
. По теореме о трёх перпендикулярах PH\perp BC
. Двугранный угол тетраэдра при ребре BC
равен 90^{\circ}
, а KO
— биссектриса его линейного угла, значит, \angle OHP=45^{\circ}
. Следовательно, PH=OP=r
.
Прямоугольные треугольники BPH
и BCM
подобны, поэтому \frac{PH}{CM}=\frac{BP}{BC}
, или \frac{r}{9}=\frac{12-2r}{15}
, откуда находим, что r=\frac{36}{11}
.
Второй способ. Пусть V
— объём тетраэдра ABCD
, S
— площадь полной поверхности, r
— радиус вписанного шара. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot AB=\frac{1}{3}\cdot CM\cdot BM\cdot AB=\frac{1}{3}\cdot9\cdot12\cdot16=36\cdot16.
С другой стороны (см. задачу 7185),
V=\frac{1}{3}Sr=\frac{1}{3}\cdot(2\cdot\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AB+\frac{1}{2}\cdot CD\cdot BM+\frac{1}{2}CD\cdot AM)r=
=\frac{1}{3}(15\cdot16+9\cdot12+9\cdot20)=(5\cdot16+3\cdot12+3\cdot20)r=
=4(20+9+15)r=4\cdot44r.
Из уравнения 4\cdot44r=36\cdot16
находим, что r=\frac{36}{11}
.