9799. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
, в котором AB=13
, AD=15
, BD=4
. Высота пирамиды проходит через центр параллелограмма и равна 16. Найдите площадь сечения, проведённого через середины рёбер AB
и AD
параллельно ребру SA
.
Ответ. 25.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и AD
соответственно, L
— точка пересечения AO
и MN
, O
— центр параллелограмма ABCD
. Тогда SO
— высота пирамиды.
Плоскость ASC
проходит через прямую SA
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку L
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку L
параллельно SA
(см. задачу 8003). Пусть прямая l
пересекает ребро SC
в точке K
. По теореме Фалеса
\frac{SK}{KC}=\frac{AL}{LC}=\frac{\frac{1}{2}AO}{\frac{1}{2}AO+AC}=\frac{\frac{1}{2}AO}{\frac{1}{2}AO+AO}=\frac{1}{3}.
Аналогично строятся точки P
и Q
пересечения секущей плоскости с рёбрами SB
и SD
соответственно: MP\parallel SA
, NQ\parallel SA
, а так как M
и N
— середины рёбер AB
и AD
, то P
и Q
— середины рёбер SB
и SQ
соответственно. Таким образом, рассматриваемое сечение — пятиугольник MPKQN
.
Пусть K'
, P'
и Q'
— ортогональные проекции точек соответственно K
, P
и Q
на плоскость основания пирамиды. Поскольку SO
— высота пирамиды, эти точки лежат на отрезках OC
, BO
и DO
соответственно, причём
\frac{OK'}{K'C}=\frac{SK}{KC}=\frac{1}{3},~BP'=P'O,~DQ'=Q'O.
Пусть угол между плоскостью основания пирамиды и секущей плоскостью равен \alpha
. Пятиугольник MP'K'Q'N
— ортогональная проекция сечения MPKQN
на плоскость основания пирамиды, поэтому
S_{MPKQN}=\frac{S_{MP'K'Q'N}}{\cos\alpha}
(см. задачу 8093).
По формуле Герона
S_{\triangle ABD}=\sqrt{16\cdot12\cdot3\cdot1}=4\cdot6=24.
Тогда
S_{MP'K'Q'N}=S_{MP'Q'N}+S_{\triangle P'K'Q'}=
=\left(24-\frac{1}{4}\cdot24-2\cdot\frac{1}{4}\cdot12\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot24\right)=12+3=15
Пусть h
— высота треугольника ABD
, проведённая из вершины A
. Тогда BD\cdot h=2S_{\triangle ABD}
, или 4h=48
, откуда h=12
.
Опустим перпендикуляр K'H
на прямую MN
. Тогда
K'H=\frac{h}{2}+\frac{h}{4}=6+3=9,~KK'=\frac{3}{4}SO=12.
По теореме о трёх перпендикулярах SH\perp MN
, поэтому \angle KHK'=\alpha
. Из прямоугольного треугольника KHK'
находим, что
\tg\alpha=\frac{KK'}{K'H}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.
Тогда \cos\alpha=\frac{3}{5}
. Следовательно,
S_{MPKQN}=\frac{S_{MP'K'Q'N}}{\cos\alpha}=\frac{15}{\frac{3}{5}}=25.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 30, с. 8