9815. В тетраэдр SABC
вписан цилиндр, ось которого параллельна ребру BC
. Известно, что AB=AC=10
, BC=16
, ребро SA
перпендикулярно плоскости ABC
и равно 8. Найдите радиус цилиндра, если он относится к высоте цилиндра как 1:8
.
Ответ. 1.
Решение. Обозначим через r
и h
радиус и высоту цилиндра. Тогда h=8r
. Пусть M
— середина общего основания BC
равнобедренных треугольников BAC
и BSC
. Окружности основания цилиндра вписаны в сечения тетраэдра плоскостями, параллельными плоскости ASM
и отстоящими от этой плоскости на расстояния, равные половине высоты цилиндра, т. е. 4r
.
Пусть одна из этих плоскостей пересекает рёбра AB
, BM
и BS
тетраэдра BAMS
в точках A_{1}
, M_{1}
и S_{1}
соответственно. Тогда тетраэдр BA_{1}M_{1}S_{1}
подобен тетраэдру BAMS
с коэффициентом
\frac{BM_{1}}{BM}=\frac{8-4r}{8}=\frac{2-r}{2}
(см. задачу 9105). Значит, если R
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ASM
, то r=R\cdot\frac{2-r}{2}
.
Из прямоугольных треугольников AMB
и AMS
находим, что
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6,~
SM=\sqrt{AM^{2}+SA^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10.
Значит (см. задачу 217),
R=\frac{AM+SA-SM}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2.
Следовательно,
r=R\cdot\frac{2-r}{2}=2-r,
откуда r=1
.