9816. В тетраэдр SABC
вписан цилиндр, ось которого параллельна ребру BC
. Известно, что AB=3
, AC=4
, BC=5
, ребро SA
перпендикулярно плоскости ABC
и равно 1. Найдите радиус цилиндра, если он относится к высоте цилиндра как 2:5
.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Решение. Обозначим через r
и h
радиус и высоту цилиндра. Тогда h=\frac{5}{2}r
. Пусть H
— основание высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
прямоугольного треугольника ABC
. Тогда
AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}
(см. задачу 1967),
SH=\sqrt{SA^{2}+AH^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\frac{13}{5}.
Окружности основания цилиндра вписаны в сечения тетраэдра плоскостями, параллельными плоскости ASH
, причём эти сечения — равные треугольники, а расстояния между их плоскостями равно высоте цилиндра, т. е. \frac{5}{2}r
.
Обозначим \angle A_{1}H_{1}S_{1}=\angle AHS=\beta
, A_{1}H_{1}=c
. Из прямоугольного треугольника SAH
находим, что \tg\alpha=\frac{5}{12}
и \cos\alpha=\frac{12}{13}
. Тогда
S_{1}A_{1}=c\tg\beta=\frac{5}{12}c,~S_{1}H_{1}=\frac{c}{\cos\beta}=\frac{13}{12}c.
Из равенства
r=\frac{S_{1}A_{1}+A_{1}H_{1}-S_{1}H_{1}}{2}=\frac{\frac{5}{12}c+c-\frac{13}{12}c}{2}=\frac{1}{6}c
(см. задачу 217) находим, что A_{1}H_{1}=c=6r
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
и вписанный в него прямоугольник A_{1}A_{2}H_{2}H_{1}
со сторонами
A_{1}A_{2}=H_{1}H_{2}=h=\frac{5}{2}r,~A_{2}H_{2}=A_{1}H_{1}=6r.
Пусть K
— точка пересечения отрезков A_{1}A_{2}
и AH
. Из подобия треугольников AA_{1}A_{2}
и ABC
получаем
\frac{A_{1}}A_{2}{BC}=\frac{AK}{AH},~\mbox{или}~\frac{\frac{5}{2}r}{5}=\frac{\frac{12}{5}-6r}{\frac{12}{5}},~\mbox{или}~\frac{r}{2}=\frac{2-5r}{2},
откуда r=\frac{1}{3}
.