9821. Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция с основаниями 18 и 8 и боковой стороной 12. Найдите площадь сечения, проведённого через сторону основания и две диагонали призмы, зная, что в сечение можно вписать окружность.
Ответ. 156
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямая призма, основания которой — равнобедренные трапеции ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основаниями A_{1}D_{1}=AD=18
, B_{1}C_{1}=BC=8
и боковыми сторонами A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}=CD=AB=12
.
Поскольку CD
и A_{1}D_{1}
— скрещивающиеся прямые, сечение, о котором говорится в условии, — либо равнобедренная трапеция AB_{1}C_{1}D
, либо равная её равнобедренная трапеция A_{1}BCD_{1}
.
Рассмотрим равнобедренную трапецию AB_{1}C_{1}D
. Поскольку в неё можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон (см. задачу 364), поэтому AD+C_{1}D_{1}=2AD_{1}
. Следовательно,
DC_{1}=AD_{1}=\frac{8+18}{2}=13.
Пусть C_{1}H
— высота трапеции AB_{1}C_{1}D
. Тогда
AH=\frac{AD+C_{1}B_{1}}{2}=\frac{18+8}{2}=13,~DH=\frac{AD-C_{1}B_{1}}{2}=\frac{18-8}{2}=5
(см. задачу 1921).
Из прямоугольного треугольника DHC_{1}
находим, что
C_{1}H=\sqrt{DC_{1}^{2}-DH}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12.
Следовательно,
S_{AB_{1}C_{1}D}=\frac{AD+C_{1}B_{1}}{2}\cdot C_{1}H=13\cdot12=156.