9823. Ось цилиндра содержит диагональ куба с ребром a
. Найдите радиус цилиндра, если его боковая поверхность касается: 1) ребра куба; 2) диагонали грани куба.
Ответ. 1) \frac{a}{\sqrt{2}}
, \frac{a}{\sqrt{6}}
.
Решение. Если прямая l
касается боковой поверхности цилиндра, то радиус цилиндра равен расстоянию от оси до прямой l
.
1) Пусть боковая поверхность цилиндра с осью BD_{1}
касается ребра AA_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда радиус цилиндра равен расстоянию между прямыми AA_{1}
и BD_{1}
, т. е. r=\frac{a}{\sqrt{2}}
(см. задачу 7173).
2) Пусть боковая поверхность цилиндра с осью BD_{1}
касается диагонали AB_{1}
грани AA_{1}B_{1}B
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда радиус цилиндра равен расстоянию между прямыми AB_{1}
и BD_{1}
, т. е. r=\frac{a}{\sqrt{6}}
(см. задачу 7174).
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 158, с. 22