9854. Ребро куба равно 1. Боковая поверхность цилиндра проходит через шесть вершин куба. Найдите радиус цилиндра, если его ось параллельна: 1) диагонали куба; 2) диагонали грани куба.
Ответ. 1) \frac{\sqrt{6}}{3}
; 2) \frac{\sqrt{6}}{4}
.
Решение. 1) Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— куб с ребром 1, а прямая BD_{1}
— ось цилиндра, боковая поверхность которого проходит через все вершины куба, за исключением B
и D_{1}
. Рассмотрим ортогональную проекцию куба и цилиндра на плоскость A_{1}DC_{1}
или на параллельную ей плоскость AB_{1}C
. Обе эти плоскости перпендикулярны диагонали BD_{1}
куба (см. задачу 7300), поэтому радиус r
цилиндра равен радиусу окружности, описанной около треугольника A_{1}DC_{1}
или AB_{1}C
. Это равные равносторонние треугольники со стороной \sqrt{2}
, следовательно (см. задачу 1963),
r=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
2) Пусть прямая AC
— ось цилиндра, боковая поверхность которого проходит через все вершины куба, за исключением B
и B_{1}
. Рассмотрим ортогональную проекцию куба и цилиндра на плоскость BB_{1}D_{1}D
, перпендикулярную AC
. Тогда середины P
и Q
отрезков BD
и B_{1}D_{1}
, т. е. ортогональные проекции на эту плоскость вершин A
и A_{1}
соответственно, а также точки D
и D_{1}
лежат на окружности сечения цилиндра плоскостью BB_{1}D_{1}D
. Значит, радиус r
цилиндра равен радиусу описанной окружности прямоугольника DD_{1}QP
. Следовательно,
r=\frac{1}{2}DQ=\frac{1}{2}\sqrt{DP^{2}+PQ^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Заметим, что такой цилиндр возможен только в случае, когда две вершины куба, не лежащие на боковой поверхности цилиндра, — это концы одного и того же ребра.