9880. Точка M
— середина ребра AB
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, ребро которого равно a
. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку M
и перпендикулярной прямой B_{1}D
. Найдите площадь этого сечения.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Рассмотрим сечение куба плоскостью A_{1}BC_{1}
. Эта плоскость перпендикулярна диагонали DB_{1}
куба (см. задачу 7300), а площадь равностороннего треугольника A_{1}BC_{1}
равна \frac{(a\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}
. Плоскость сечения, о котором говорится в условии, параллельна плоскости A_{1}BC_{1}
, значит, она пересекает плоскости граней AA_{1}B_{1}B
, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и CC_{1}D_{1}D
по прямым, параллельным A_{1}B
, A_{1}C_{1}
и BC_{1}
(см. задачу 8009). Пусть X
, Y
и Z
— точки попарного пересечения этих прямых: X
на прямой A_{1}B_{1}
, Y
на прямой BB_{1}
, Z
на прямой B_{1}C_{1}
.
Пусть N
— точка пересечения XY
и AA_{1}
. Тогда MN
— средняя линия треугольника A_{1}AB
, поэтому MN\parallel A_{1}B
и MN=\frac{1}{2}A_{1}B
. Из равенства треугольников XA_{1}N
и MAN
следует, что A_{1}X=MN
. Аналогично, MY=MN
. Таким образом, точки M
и N
разбивают сторону XY
равностороннего треугольника XYZ
на три равные части. Аналогично, для граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и BB_{1}C_{1}C
. Следовательно, искомое сечение — правильный шестиугольник, стороны которого в три раза меньше сторон треугольника XYZ
.
Треугольник XYZ
подобен равностороннему треугольнику A_{1}BC_{1}
с коэффициентом \frac{3}{2}
, значит, площадь S_{1}
треугольника XYZ
составляет \frac{4}{9}
площади треугольника A_{1}BC_{1}
, т. е.
S_{1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{9a^{2}\sqrt{3}}{8},
а так как площадь S
шестиугольника сечения составляет \frac{2}{3}
площади треугольника XYZ
(S_{1}-3\cdot\frac{1}{9}S_{1}=\frac{1}{3}S_{1}
), то
S=\frac{2}{3}\cdot\frac{9a^{2}\sqrt{3}}{8}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}.