9888. Площадь боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна S
. Найдите площадь сечения, параллельного боковой грани и делящего площадь основания в отношении: 1) 1:1
; 2) 1:3
.
Ответ. 1) \frac{3}{4}S
; 2) \frac{7}{16}S
или \frac{15}{16}S
.
Решение. Пусть PABCD
— правильная пирамида с вершиной P
, площадь боковой грани которой равна S
. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009) секущая плоскость пересекается с плоскостью основания по прямой, параллельной стороне основания.
1) Пусть секущая плоскость делит площадь основания в отношении 1:1
. Тогда эта плоскость проходит через прямую, параллельную стороне основания, например, BC
, и делит стороны AB
и CD
пополам. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно, а секущая плоскость пересекает боковые рёбра PA
и PD
пирамиды в точках K
и L
соответственно. Тогда MK\parallel PB
и NL\parallel PC
. Таким образом, рассматриваемое сечение — равнобедренная трапеция MKLN
.
Плоскости APB
и CPD
проходят через параллельные прямые AB
и CD
, поэтому они пересекаются по прямой l
, параллельной AB
и CD
(см. задачу 8004). Прямые MK
и NL
пересекаются на прямой l
в некоторой точке T
. Треугольник MTN
равен треугольнику BPC
по стороне и двум прилежащим к ней углам, а так как M
— середина AB
, то K
— середина стороны PA
. Аналогично, L
— середина стороны PD
. Треугольники AHE
и PHT
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому K
и L
— середины отрезков TM
и TN
соответственно, т. е. KL
— средняя линия треугольника MTN
. Следовательно,
S_{MKLN}=\frac{3}{4}S_{\triangle MTN}=\frac{3}{4}S.
2) Пусть секущая плоскость пересекает рёбра AB
и CD
в точках E
и F
соответственно, рёбра PA
и PD
— в точках H
и G
соответственно, а также делит площадь основания в отношении 1:3
, считая от стороны AD
. Тогда EF\parallel AD
и AE:EB=DF:FC=1:3
. Таким образом, рассматриваемое сечение — равнобедренная трапеция MKLN
.
Пусть прямые EH
и FG
пересекаются на прямой l
(см. пункт 1)) в точке U
. Тогда треугольник EUF
равен треугольнику BPC
, UG:UF=UH:UE=PH:PA=BE:AB=3:4
. Значит, треугольник HUG
подобен треугольнику EUF
с коэффициентом \frac{3}{4}
, поэтому
S_{\triangle HUG}=\frac{9}{16}S_{\triangle EUH}=\frac{9}{16}S.
Следовательно,
S_{EFGH}=S-\frac{9}{16}S=\frac{7}{16}S.
Если же плоскость сечения расположена ближе к стороне BC
, аналогично находим, что площадь сечения равна \frac{15}{16}S
(соответствующий коэффициент подобия в этом случае равен \frac{1}{4}
).
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 8, с. 6