9888. Площадь боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна
S
. Найдите площадь сечения, параллельного боковой грани и делящего площадь основания в отношении: 1)
1:1
; 2)
1:3
.
Ответ. 1)
\frac{3}{4}S
; 2)
\frac{7}{16}S
или
\frac{15}{16}S
.
Решение. Пусть
PABCD
— правильная пирамида с вершиной
P
, площадь боковой грани которой равна
S
. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009) секущая плоскость пересекается с плоскостью основания по прямой, параллельной стороне основания.
1) Пусть секущая плоскость делит площадь основания в отношении
1:1
. Тогда эта плоскость проходит через прямую, параллельную стороне основания, например,
BC
, и делит стороны
AB
и
CD
пополам. Пусть
M
и
N
— середины сторон
AB
и
CD
соответственно, а секущая плоскость пересекает боковые рёбра
PA
и
PD
пирамиды в точках
K
и
L
соответственно. Тогда
MK\parallel PB
и
NL\parallel PC
. Таким образом, рассматриваемое сечение — равнобедренная трапеция
MKLN
.
Плоскости
APB
и
CPD
проходят через параллельные прямые
AB
и
CD
, поэтому они пересекаются по прямой
l
, параллельной
AB
и
CD
(см. задачу 8004). Прямые
MK
и
NL
пересекаются на прямой
l
в некоторой точке
T
. Треугольник
MTN
равен треугольнику
BPC
по стороне и двум прилежащим к ней углам, а так как
M
— середина
AB
, то
K
— середина стороны
PA
. Аналогично,
L
— середина стороны
PD
. Треугольники
AHE
и
PHT
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому
K
и
L
— середины отрезков
TM
и
TN
соответственно, т. е.
KL
— средняя линия треугольника
MTN
. Следовательно,
S_{MKLN}=\frac{3}{4}S_{\triangle MTN}=\frac{3}{4}S.

2) Пусть секущая плоскость пересекает рёбра
AB
и
CD
в точках
E
и
F
соответственно, рёбра
PA
и
PD
— в точках
H
и
G
соответственно, а также делит площадь основания в отношении
1:3
, считая от стороны
AD
. Тогда
EF\parallel AD
и
AE:EB=DF:FC=1:3
. Таким образом, рассматриваемое сечение — равнобедренная трапеция
MKLN
.
Пусть прямые
EH
и
FG
пересекаются на прямой
l
(см. пункт 1)) в точке
U
. Тогда треугольник
EUF
равен треугольнику
BPC
,
UG:UF=UH:UE=PH:PA=BE:AB=3:4
. Значит, треугольник
HUG
подобен треугольнику
EUF
с коэффициентом
\frac{3}{4}
, поэтому
S_{\triangle HUG}=\frac{9}{16}S_{\triangle EUH}=\frac{9}{16}S.

Следовательно,
S_{EFGH}=S-\frac{9}{16}S=\frac{7}{16}S.

Если же плоскость сечения расположена ближе к стороне
BC
, аналогично находим, что площадь сечения равна
\frac{15}{16}S
(соответствующий коэффициент подобия в этом случае равен
\frac{1}{4}
).