9904. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точки M
и N
— середины рёбер SA
и SB
соответственно. Найдите угол и расстояние между прямыми BM
и CN
.
Ответ. \arccos\frac{3}{4}
, \frac{4}{\sqrt{7}}
.
Решение. Первый способ. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
CN=BM=\frac{1}{2}\sqrt{2AB^{2}+2SB^{2}-SA^{2}}=\sqrt{2\cdot1^{2}+2\cdot2^{2}-2^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Пусть O
— центр основания пирамиды, K
— середина отрезка OC
. Отрезок MN
— средняя линия треугольника ASB
, поэтому MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}OC=CK
и MN\parallel AB\parallel CK
. Значит, CKMN
— параллелограмм. Тогда KM\parallel CN
, следовательно, угол между скрещивающимися прямыми BM
и CN
равен углу \alpha
между пересекающимися прямыми BM
и KM
, т. е. углу BMK
при вершине равнобедренного треугольника BMK
со сторонами KM=BM=\frac{\sqrt{6}}{2}
и BK=\frac{\sqrt{3}}{2}
(как высота равностороннего треугольника BCO
со стороной 1). По теореме косинусов из треугольника BMK
находим, что
\cos\alpha=\frac{BM^{2}+KM^{2}-BK^{2}}{2BM\cdot BK}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}}{2\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{3}{4}.
Прямая CN
параллельна прямой KM
, лежащей в плоскости BMK
, значит, прямая CN
параллельна этой плоскости. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми BM
и CN
равно расстоянию от произвольной точки прямой CN
, например, от точки C
, до плоскости BMK
. Отрезок CO
делится пополам точкой K
этой плоскости, значит, точки C
и O
равноудалены от этой плоскости.
Вычислим угол \beta
между плоскостью BMK
и плоскостью основания пирамиды. Пусть M'
— ортогональная проекция точки M
на плоскость основания, а ML
— медиана, а значит, высота равнобедренного треугольника BMK
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что MLM'
— линейный угол двугранного угла между плоскостью BMK
и плоскостью основания пирамиды, т. е. \angle MLM'=\beta
. В прямоугольном треугольнике MM'L
известно, что
MM'=\frac{1}{2}SO=\frac{\sqrt{3}}{2},~M'L=\frac{1}{2}(AB+OK)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}
(как средняя линия прямоугольной трапеции ABKO
). Тогда
\ctg\beta=\frac{M'L}{MM'}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2},~\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{7}}.
Тогда расстояние от точки O
(а значит, и от точки C
) до плоскости BMK
равно
OK\sin\beta=2\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{4}{\sqrt{7}}.
Таким образом расстояние между скрещивающимися прямыми BM
и CN
равно \frac{4}{\sqrt{7}}
.
Второй способ (вычисление расстояния). Воспользуемся формулой V=\frac{1}{6}abc\sin\alpha
для вычисления объёма тетраэдра (a
и b
—длины противоположных рёбер тетраэдра, c
— расстояние между содержащими их прямыми, \varphi
— угол между этими прямыми, см. задачу 7234).
Пусть V
— объём тетраэдра BMNC
, в котором BC=1
, MN=\frac{1}{2}
, расстояние между прямыми BC
и MN
равно \frac{\sqrt{3}}{2}
как расстояние от точки M
прямой MN
до плоскости ABCDEF
, содержащей прямую BC
(т. е. половина высоты SO
данной пирамиды), а угол между этими прямыми дополняет угол ABC
до 180^{\circ}
, т. е. равен 60^{\circ}
. Тогда
V=\frac{1}{6}\cdot1\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}.
С другой стороны, V=\frac{1}{6}BM\cdot CN\cdot c\sin\alpha
, где c
— искомое расстояние между прямыми BM
и CN
, \alpha
— угол между ними,
BM=CN=\frac{\sqrt{6}}{2},~\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4},
т. е.
V=\frac{1}{6}\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot c\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{c\sqrt{7}}{8}.
Из уравнения \frac{c\sqrt{7}}{8}=\frac{1}{4}
находим, что c=\frac{4}{\sqrt{7}}
.