9913. Все вершины правильного тетраэдра с ребром a
лежат на боковой поверхности конуса, причём вершины A
и B
лежат на некоторой образующей конуса. Найдите расстояние от вершины конуса до прямой CD
, если угол между образующей и осью конуса равен 45^{\circ}
.
Ответ. \frac{a\sqrt{34}}{8}
.
Решение. Пусть S
— вершина конуса, M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
. Тогда MN
— общий перпендикуляр скрещивающиеся прямых AB
и CD
, AB\perp CD
, причём MN=\frac{a\sqrt{2}}{2}
(см. задачу 7046).
Через прямую CD
проведём две плоскости, одна из которых перпендикулярна оси конуса, а вторая, плоскость CMD
, перпендикулярна прямой AB
. Первая плоскость пересекает боковую поверхность конуса по окружности с центром O
и хордой CD=a
. Пусть PQ
— диаметр этой окружности, причём точка P
лежит на прямой AB
. Поскольку
\angle NPM=\angle OPS=\angle OSP=45^{\circ},
из равнобедренного прямоугольного треугольника NMP
с катетом NM=\frac{a\sqrt{2}}{2}
находим, что NP=a
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627) NP\cdot NQ=NC\cdot ND
, или a\cdot NQ=\frac{a^{2}}{4}
, откуда NQ=\frac{a}{4}
. Тогда радиус окружности равен \frac{1}{2}\left(a+\frac{a}{4}\right)=\frac{5}{8}a\lt a
. Значит, точка O
лежит между P
и N
, а
ON=PN-OP=a-\frac{5}{8}a=\frac{3}{8}a.
Треугольник CSD
равнобедренный, поэтому его медиана SN
является высотой. Значит, расстояние от точки S
до прямой CD
равно длине отрезка SH
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника SOP
получаем SO=OP=\frac{5}{8}a
. Следовательно,
SN=\sqrt{SO^{2}+ON^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}a^{2}+\frac{9}{64}a^{2}}=\frac{a\sqrt{34}}{8}.