9915. Дана прямая треугольная призма, основание которой — равнобедренный треугольник с основанием, равным 6, и проведённой к нему высотой, равной 1. Найдите радиус сферы, описанной около призмы.
Ответ. 13
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры описанных окружностей оснований соответственно ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, AC=BC
, AB=6
, AM=1
— высота треугольника ABC
, R
— радиус сферы, описанной около призмы.
Центр Q
сферы равноудалён от вершин оснований, значит, он лежит на прямой OO_{1}
(см. задачу 9056). С другой стороны, центр сферы равноудалён от вершин A
и A_{1}
, поэтому он лежит на плоскости, проходящей через середину AA_{1}
перпендикулярно прямой AA_{1}
(см. задачу 8171), а значит, и OO_{1}
. Следовательно, центр Q
сферы — середина отрезка OO_{1}
.
Пусть r
— радиус описанной окружности основания ABC
. Продолжим отрезок CM
до пересечения с описанной окружностью в точке C_{1}
. Тогда AM
— высота прямоугольного треугольника ACC_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
AM^{2}=CM\cdot MC_{1},~\mbox{или}~9=1\cdot(2r-1),
откуда r=5
.
Из прямоугольного треугольника AOQ
находим, что
R=OA=\sqrt{QO^{2}+OA^{2}}=\sqrt{QO^{2}+r^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.