9918. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углами 15^{\circ}
. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Ответ. \frac{65}{4}
.
Решение. Пусть SABC
— данная треугольная пирамида с вершиной S
, AB=13
, AC=14
, BC=15
. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под равными углами, поэтому высота SQ
пирамиды проходит через центр Q
окружности, описанной около основания (см. примечание к задаче 7163).
Обозначим \angle BAC=\alpha
. По теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{169+196-225}{2\cdot13\cdot14}=\frac{5}{13}.
Тогда \sin\alpha=\frac{12}{13}
.
Пусть r
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. Тогда по теореме синусов
r=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{15}{2\cdot\frac{12}{13}}=\frac{65}{8}.
Центр O
сферы равноудалён от вершин оснований, значит, он лежит на прямой, проходящей через центр Q
окружности, описанной около основания пирамиды, перпендикулярно этой плоскости (см. задачу 9056). С другой стороны, центр сферы равноудалён от точек A
и S
, поэтому он лежит на плоскости, проходящей через середину M
отрезка SA
перпендикулярно прямой SA
(см. задачу 8171).
Рассмотрим треугольник SAO
. Он равнобедренный, так как точка O
лежит на серединном перпендикуляре к стороне SA
. Отрезок AQ
— его высота, причём \angle SAQ=15^{\circ}
, значит,
\angle SAO=\angle ASO=90^{\circ}-\angle SAQ=75^{\circ},~\angle AOQ=\angle AOS=180^{\circ}-2\cdot75^{\circ}=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника AOQ
находим, что
R=OA=2AQ=2r=\frac{65}{4}.