9922. Ребро DC
тетраэдра ABCD
перпендикулярно плоскости ABC
. Известно, что \angle ADB=90^{\circ}
, AC=CD=1
, BC=\sqrt{3}
. Найдите расстояние от точки C
до плоскости ADB
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Из прямоугольных треугольников ACB
, BCD
и ADB
по теореме Пифагора находим, что
AD=\sqrt{2},~BD=2,~AB=\sqrt{6}.
Первый способ. Пусть DP
— высота прямоугольного треугольника ADB
. Тогда
DP=\frac{AD\cdot BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}\cdot2}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}
(см. задачу 1967). Тогда
\cos\angle CDP=\frac{CD}{DP}=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2},~\angle CDP=30^{\circ}\gt
Пусть CH
— высота треугольника CDP
. Тогда CH\perp DP
и CH\perp AB
. Значит, CH
— перпендикуляр к плоскости ADB
, и расстояние от точки C
до плоскости ADB
равно длине отрезка CH
. Из прямоугольного треугольника CHD
с углом 30^{\circ}
при вершине D
находим, что CH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}
.
Второй способ. Обозначим
\angle ADC=\alpha,~\angle BDC=\beta,~\angle CDB=\gamma.
Тогда
\cos\alpha=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{2}},~\cos\beta=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}.
Значит,
\cos^{2}\gamma=\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
(см. задачу 9920). Тогда
\cos\gamma=\frac{\sqrt{3}}{2},~\gamma=30^{\circ}.
Пусть CH
— высота тетраэдра. Из прямоугольного треугольника CHD
находим, что CH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}
.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 13.41, с. 152