9928. На ребре AA_{1}
и на диагонали B_{1}D
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отметили соответственно точки K
и M
так, что KM
— общий перпендикуляр прямых AA_{1}
и B_{1}D
. Найдите отношение B_{1}M:MD
, если AB:AD=1:2
.
Ответ. 1:4
.
Решение. Опустим перпендикуляр AP
на прямую BD
. Тогда AP
— перпендикуляр к плоскости BB_{1}D_{1}D
, так как AP\perp BD
и AP\perp BB_{1}
. Пусть прямая, проведённая через точку P
параллельно BB_{1}
, пересекает отрезок DB_{1}
в точке M'
, а прямая, проведённая через точку M'
параллельно AP
, пересекает ребро AA_{1}
в точке K'
. Тогда K'M'
— общий перпендикуляр прямых AA_{1}
и D_{1}C
. Из единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых следует, что точка K'
совпадает с K
, а точка M'
— с M
.
Пусть AB=a
, AD=2a
. Из теоремы о пропорциональных отрезках (см. задачу 1059) и теоремы о высоте прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла (см. задачу 2169), следует, что
\frac{B_{1}M}{MD}=\frac{BP}{PD}=\frac{AB^{2}}{AD^{2}}=\frac{a^{2}}{4a^{2}}=\frac{1}{4}.