9929. Ребро DC
тетраэдра ABCD
перпендикулярно плоскости ABC
. Точка M
— середина ребра AD
. На отрезках DC
и BM
отметили соответственно точки E
и P
так, что отрезок EP
— общий перпендикуляр прямых DC
и BM
. Найдите отношение MP:PB
, если \angle ACB=90^{\circ}
и \angle BAC=30^{\circ}
.
Ответ. 3:4
.
Решение. Отметим середину K
ребра AC
. Тогда MK\parallel DC
как средняя линия треугольника ACD
, а так как DC
— перпендикуляр к плоскости ABC
, то и MK
— перпендикуляр к этой плоскости.
Опустим перпендикуляр CQ
на прямую BK
. Тогда CQ
— перпендикуляр к плоскости BKM
, так как CQ\perp BK
и CQ\perp MK
. Пусть прямая, проведённая через точку Q
параллельно MK
, пересекает отрезок BM
в точке P'
, а прямая, проведённая через точку P'
параллельно CQ
, пересекает ребро DC
в точке E'
. Тогда E'P'
— общий перпендикуляр прямых DC
и BM
. Из единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых следует, что точка E'
совпадает с E
, а точка P'
— с P
.
Пусть CB=a
. Тогда
AC=BC\ctg30^{\circ}=a\sqrt{3},~CK=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Из теоремы о пропорциональных отрезках (см. задачу 1059) и теоремы о высоте прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла (см. задачу 2169), следует, что
\frac{MP}{PB}=\frac{CQ}{QB}=\frac{CK^{2}}{CB^{2}}=\frac{\frac{3}{4}a^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}.