9932. На рёбрах AB
и AD
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отметили точки P
и Q
соответственно, причём AP=DQ
. Докажите, что угол между плоскостями A_{1}PC
и A_{1}QC
не зависит от выбора точки P
.
Указание. Рассмотрите ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную диагонали CA_{1}
. Затем см. задачу 1386.
Решение. Докажем, что при любом расположении точек P
и Q
, удовлетворяющем условию задачи, этот угол равен 60^{\circ}
.
Рассмотрим ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную диагонали CA_{1}
, например, на плоскость AB_{1}C_{1}
(см. задачу 7300). Проекции точек A
и C_{1}
— центр O
равностороннего треугольника AB_{1}C_{1}
.
Пусть B'
и D'
— проекции вершин B
и D
соответственно. Равные отрезки AB
, AD
и AA_{1}
образуют с этой плоскостью равные углы, поэтому их проекции AB'
, AD'
и AO
на эту плоскость равны. Значит, AOB'
и AOD'
— равносторонние треугольники. Также равны проекции AP'
и DQ'
равных отрезков AP
и DQ
.
Поскольку P'O\perp CA_{1}
и Q'O\perp CA_{1}
, линейный угол, образованный плоскостями A_{1}PC
и A_{1}CQ
, — это угол P'OQ'
. Четырёхугольник AB'OD'
— ромб с острым углом 60^{\circ}
, следовательно, \angle P'OQ'=60^{\circ}
(см. задачу 1386). Что и требовалось доказать.