9949. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
ребро
AD
равно 1 а каждое из рёбер
AB
и
AA_{1}
равно 2. Найдите угол между плоскостями
AB_{1}D
и
CB_{1}D
.
Ответ.
\arccos\frac{\sqrt{10}}{10}
.
Решение. Первый способ. Из прямоугольных треугольников
ABB_{1}
и
BCC_{1}
находим, что
AB_{1}=2\sqrt{2},~CB_{1}=\sqrt{CC_{1}^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.

Поскольку
D
и
B_{1}
— общие точки плоскостей
AB_{1}D
и
CB_{1}D
, эти плоскости пересекаются по прямой
DB_{1}
.
Рассмотрим трёхгранный угол
DAB_{1}C
с вершиной
D
. Его двугранный угол при ребре
DB_{1}
либо равен искомому углу
\varphi
между плоскостями
AB_{1}D
и
CB_{1}D
, либо дополняет его до
180^{\circ}
. Обозначим плоские углы
ADB_{1}
и
CDB_{1}
рассматриваемого трёхгранного угла через
\alpha
и
\beta
соответственно. По теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438)
\cos\varphi=\frac{\cos90^{\circ}-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=-\ctg\alpha\ctg\beta=

=-\frac{AD}{AB_{1}}\cdot\frac{CD}{CB_{1}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}.

Значит,
\varphi=180^{\circ}-\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}
. Следовательно, угол между плоскостями
AB_{1}D
и
CB_{1}D
равен
\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}
.
Второй способ. Поскольку
CC_{1}D_{1}D
— квадрат,
D_{1}C\perp DC_{1}
. Тогда прямая
DC_{1}
перпендикулярна плоскости
CB_{1}D
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым
D_{1}C
и
AD
. Пусть прямая, проведённая через вершину
D_{1}
перпендикулярно
DA_{1}
, пересекает прямую
AD
в точке
P
. Прямая
D_{1}P
перпендикулярна плоскости
A_{1}B_{1}C
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым
DA_{1}
и
A_{1}B_{1}
этой плоскости. Аналогично, Поскольку угол между плоскостями равен углу между перпендикулярными им прямыми, искомый угол
\varphi
— это угол
PD_{1}C
.
Из подобия треугольников
PDD_{1}
и
DD_{1}A_{1}
находим, что
DP=2DD_{1}=4
. По теореме Пифагора
CP=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5},~D_{1}Q=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}.

Из равнобедренного треугольника
CPD_{1}
находим, что
\cos\angle CD_{1}P=\frac{\frac{1}{2}CD_{1}}{D_{1}P}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.

Следовательно, угол между плоскостями
AB_{1}C_{1}
и
A_{1}B_{1}C
равен
\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}
.
Третий способ. Введём прямоугольную систему координат, взяв за начало точку
D
и направив ось
Dx
по лучу
DA
, ось
Dy
— по лучу
DC
, а ось
Dz
— по лучу
DD_{1}
. Тогда уравнения плоскостей
AB_{1}D
и
CB_{1}D
имеют вид
y-z=0,~2x-z=0.

Значит, косинус угла между этими плоскостями равен (см. задачу 7565)
\left|\frac{0\cdot2+1\cdot0+1\cdot1}{\sqrt{1+1}\cdot\sqrt{4+1}}\right|=\frac{1}{\sqrt{10}}.

Следовательно, угол между плоскостями
AB_{1}C_{1}
и
A_{1}B_{1}C
равен
\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}
.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 17.9, с. 186