9955. Докажите, что тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда все его медианы равны.
Решение. Необходимость. Если тетраэдр равногранный, то его описанный параллелепипед прямоугольный (см. задачу 7994б). Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, а каждая медиана тетраэдра составляет две трети содержащей её диагонали параллелепипеда (см. задачу 7212). Следовательно, все медианы тетраэдра равны между собой.
Достаточность. Пусть медианы тетраэдра равны между собой. Поскольку каждая медиана тетраэдра составляет две трети содержащей её диагонали описанного параллелепипеда (см. задачу 7212), диагонали параллелепипеда также равны между собой. Тогда все диагональные сечения параллелепипеда — прямоугольники, значит, параллелепипед прямоугольный. Следовательно, тетраэдр равногранный (см. задачу 7994б).