9956. Сечение тетраэдра ABCD
некоторой плоскостью — четырёхугольник. Какое наименьшее значение может принимать периметр этого четырёхугольника, если AD=BC=a
, BD=AC=b
, AB=CD=c
?
Ответ. Наименьшее из чисел 2a
, 2b
, 2c
.
Решение. Пусть плоскость пересекает рёбра AD
, AC
, BC
и CD
тетраэдра ABCD
в точках K
, L
, M
и N
соответственно. Поскольку противоположные рёбра тетраэдра попарно равны, тетраэдр равногранный, поэтому его развёртка на плоскость любой его грани — треугольник (см. задачу 7269).
Рассмотрим развёртку D_{1}D_{2}D_{3}
на плоскость ABC
, где A
, B
и C
— середины сторон соответственно D_{1}D_{1}
, D_{2}D_{2}
и D_{1}D_{3}
треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Пусть точкам K
и N
на этой развёртке соответствуют точки K'
и N'
, лежащие на отрезках соответственно AD_{2}
и CD_{3}
, и точки K''
и N''
, лежащие на отрезках соответственно AD_{1}
и CD_{1}
.
Пусть периметр четырёхугольника KLMN
равен P
. Поскольку AK''=AK'
и CN''=CN
, отрезок AC
соединяет середины противоположных сторон K'K''
и N'N''
четырёхугольника K'N'N''K''
, поэтому AC\leqslant\frac{K'N'+N''K''}{2}
(см. задачу 5332). Тогда
P=KL+LM+MN+NK=K'L+LM+MN'+N''K''\geqslant K'N'+N'K'\geqslant2AC=2b,
причём 2p=2b
, когда точки K
, L
, M
и N
— середины рёбер тетраэдра (в этом случае KLMN
— ромб со стороной \frac{b}{2}
). Аналогично, 2p\geqslant2a
и 2p\geqslant2c
. Следовательно, наименьший периметр четырёхугольника KLMN
равен наименьшему из чисел 2a
, 2b
, 2c
.