9961. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b
, а плоский угол при вершине пирамиды равен \alpha
. Все вершины пирамиды равноудалены от некоторой плоскости. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Ответ. \frac{b^{2}\sqrt{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{4}=\frac{b^{2}(1-\cos\alpha)\sqrt{3}}{8}
или \frac{b^{2}\sin\alpha}{8}
или \frac{b^{2}\sin\frac{\alpha}{2}}{2}
.
Решение. Пусть PABC
— данная правильная треугольная пирамида с основанием ABC
, PA=PB=PC=b
, \angle APB=\angle BPC=\angle APC=\alpha
, а искомая площадь сечения равна S
.
Рассмотрим плоскость, равноудалённую от точек P
, A
, B
и C
. Возможны три случая: 1) точки A
, B
и C
расположены по одну сторону от этой плоскости, а точка P
— по другую; 2) две вершины треугольника ABC
и точка P
расположены по одну сторону от этой плоскости, а третья вершина треугольника ABC
— по другую; 3) две вершины треугольника ABC
расположены по одну сторону от этой плоскости, а точка P
и третья вершина треугольника ABC
— по другую.
1) В этом случае секущая плоскость проходит через середины боковых рёбер пирамиды, значит, сечение — треугольник, подобный равностороннему треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{2}
(см. задачу 9105).
Пусть D
— середина ребра AB
. Тогда PD
— медиана, а значит, высота и биссектриса равнобедренного треугольника APB
, поэтому
AB=2AD=2\cdot PA\sin\frac{\alpha}{2}=2b\sin\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
S=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4b^{2}\sqrt{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{4}=\frac{b^{2}\sqrt{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{4}.
1) Пусть точки A
, B
и P
расположены по одну сторону от секущей плоскости, а точка C
— по другую. В этом случае секущая плоскость проходит через середины рёбер AC
и BC
и через середину бокового ребра PC
. Значит, сечение — треугольник, подобный равнобедренному треугольнику APB
с коэффициентом \frac{1}{2}
(см. задачу 9105). Следовательно,
S=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}S_{\triangle APB}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}PA\cdot PB\sin\alpha=\frac{b^{2}\sin\alpha}{8}.
3) Пусть точки A
и B
расположены по одну сторону от секущей плоскости, а точки C
и P
— по другую. В этом случае секущая плоскость проходит через середины M
и N
рёбер BC
и AC
соответственно и через середины E
и F
рёбер PA
и PB
соответственно. По теореме о средней линии треугольника MN\parallel AB\parallel EF
и MN=\frac{1}{2}AB=EF
, поэтому сечение MNEF
— параллелограмм. Противоположные рёбра правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны (см. задачу 7000), поэтому MN\perp EF
. Значит, MNEF
— прямоугольник. Следовательно,
S=MN\cdot MF=\frac{1}{2}AB\cdot\frac{1}{2}PC=\frac{1}{4}\cdot2b\sin\frac{\alpha}{2}\cdot b=\frac{b^{2}\sin\frac{\alpha}{2}}{2}.