9972. Точки M
и N
— середины рёбер CD
и CC_{1}
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите расстояние между прямыми AN
и BM
.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{41}}
.
Решение. Пусть прямые AC
и BM
пересекаются в точке P
. Через точку P
параллельно AN
проведём прямую до пересечения с ребром CC_{1}
в точке Q
. Тогда прямая AN
параллельна плоскости BMQ
, проходящей через прямую BM
. Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми AN
и BM
равно расстоянию от произвольной точки прямой AN
, например, от точки N
, до плоскости BMQ
(см. задачу 7889).
Треугольник CPM
подобен треугольнику APB
, а PQ\parallel AN
, значит,
\frac{CQ}{QN}=\frac{CP}{PA}=\frac{CM}{AB}=\frac{1}{2}.
Следовательно, искомое расстояние d
от точки N
до плоскости BMQ
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки C
(см. задачу 9180).
Пусть CF
— высота прямоугольного треугольника BCM
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что QF
— высота треугольника BQM
. Тогда высота CH
прямоугольного треугольника FCQ
— перпендикуляр к плоскости BQM
, а расстояние от точки C
до плоскости BQM
равно длине отрезка CH
.
Из прямоугольных треугольников BCM
и FCQ
находим, что
BM=\sqrt{BC^{2}+CM^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2},~
CF=\frac{BC\cdot CM}{BM}=\frac{1\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
FQ=\sqrt{CF^{2}+CQ^{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{1}{36}}=\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{41}},
CH=\frac{CQ\cdot CF}{FQ}=\frac{\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{41}}}=\frac{1}{\sqrt{41}}.
Следовательно,
d=2CH=\frac{2}{\sqrt{41}}.