9973. Точки E
, F
и M
— середины рёбер соответственно AA_{1}
, AB
и CC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите угол между плоскостями EFD
и A_{1}D_{1}M
.
Ответ. \arccos\frac{2}{\sqrt{5}}
.
Решение. Пусть ребро куба равно 2. Плоскость A_{1}D_{1}M
параллельна плоскости BCE
, поэтому искомый угол между плоскостями EFD
и A_{1}D_{1}M
равен углу между плоскостями EFD
и BCE
.
Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине A
куба. Ось Ox
направим по лучу AD
, ось Oy
— по лучу AB
, ось Oz
— по лучу AA_{1}
. Тогда уравнения плоскостей EFD
и BCE
можно записать в виде
\frac{x}{2}+y+z=1,~\frac{y}{2}+z=1
соответственно (уравнения плоскостей в отрезках, см. задачу 7564).
Пусть искомый угол равен \alpha
. Тогда (см. задачу 7565)
\cos\alpha=\left|\frac{\frac{1}{2}\cdot0+1\cdot\frac{1}{2}+1\cdot1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}\cdot\sqrt{\frac{1}{4}+1}}\right|=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Следовательно, \alpha=\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}
.