9986. В тетраэдре ABCD
ребро BD
перпендикулярно плоскости ADC
, \angle DAC=90^{\circ}
, AD=AC=10\sqrt{2}
, BD=12
. Точка M
— середина ребра AC
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M
перпендикулярно ребру CD
.
Ответ. \frac{15}{2}
.
Решение. Пусть E
и L
— середины рёбер BC
и CD
соответственно. Отрезок AL
— медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника ACD
, поэтому AL\perp CD
. Отрезок EL
— средняя линия прямоугольного треугольника BCD
с прямым углом при вершине D
, поэтому EL\perp CD
. Таким образом, прямая CD
перпендикулярна плоскости ALE
, так как он перпендикулярна пересекающимся прямым AL
и EL
этой плоскости.
Пусть N
и K
— середины отрезков CL
и CE
соответственно. По теореме о средней линии треугольника MN\parallel AL
и KN\parallel EL
. Значит, по признаку параллельности плоскостей плоскость MNK
параллельна плоскости ALE
(см. задачу 8008), а так как плоскость ALE
параллельна прямой CD
, то и плоскость MNK
, проходящая через точку M
, перпендикулярна этой прямой (см. задачу 7705). Следовательно, сечение, о котором говорится в условии задачи, — это прямоугольный треугольник MNK
с прямым углом при вершине N
, где N
— точка делящая ребро CD
в отношении CN:ND=1:3
, а K
— точка, делящая ребро BC
также в отношении CK:KB=1:3
. Вершины этого треугольника можно построить с помощью циркуля и линейки, используя теорему о пропорциональных отрезках.
Из прямоугольных треугольников ACD
и BCD
находим, что
AL=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AC\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot10\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=10,~EL=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot12=6.
Треугольник MNK
подобен треугольнику ALE
с коэффициентом \frac{1}{2}
, следовательно,
S_{\triangle MNK}=\frac{1}{4}S_{\triangle ALE}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}AL\cdot EL=\frac{1}{8}\cdot10\cdot6=\frac{15}{2}.