9988. Точка M
— середина ребра BC
тетраэдра ABCD
. Известно, что AD=AB=BC=CD=10
, AC=8
, BD=12
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M
перпендикулярно прямой BD
. Найдите площадь этого сечения.
Ответ. 4\sqrt{3}
.
Решение. Отметим середину K
ребра BD
. Поскольку AK
и CK
— медианы, а значит, высоты равнобедренных треугольников BAD
и BCD
, прямая BD
перпендикулярна пересекающимся прямым AK
и CK
плоскости AKC
. Следовательно, прямая BD
перпендикулярна этой плоскости.
Через точку M
проведём плоскость, параллельную плоскости AKC
. Проведённая плоскость тоже перпендикулярна прямой BD
(см. задачу 7705). По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009) эта плоскость пересекает грани CBD
, ABC
и ABD
по отрезкам ML
, MN
и NL
, соответственно параллельным CK
, AC
и AK
. Тогда сечение, о котором говорится в условии задачи, — это треугольник NLM
, причём точка N
— середина ребра AB
, а точка K
делит ребро BD
в отношении BK:KD=1:3
. Эти точки, а значит, и сечение, можно построить с помощью циркуля и линейки, используя теорему о пропорциональных отрезках.
Из прямоугольного треугольника AKD
находим, что
AK=\sqrt{AD^{2}-DK^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8.
Аналогично, CK=8
, значит, треугольник AKC
равносторонний. Тогда
S_{\triangle AKC}=\frac{AC^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}.
Треугольник NLM
подобен треугольнику AKC
с коэффициентом \frac{1}{2}
, следовательно,
S_{\triangle NML}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}S_{\triangle AKC}=\frac{1}{4}\cdot16\sqrt{3}=4\sqrt{3}.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 10.39, с. 123