9989. В четырёхугольной пирамиде SABCD
с вершиной S
боковое ребро SA
перпендикулярно ребру CD
основания. Известно, что \angle BAD+\angle CDA=90^{\circ}
. Найдите угол между плоскостями SAB
и SCD
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
. Тогда
\angle AED=180^{\circ}-(\angle EAD+\angle EDA)=180^{\circ}-(\angle BAD+\angle CDA)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Значит, прямая DE
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AE
и SA
плоскости SAB
. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (см. задачу 7700) прямая DE
перпендикулярна плоскости SAB
. Плоскость SCD
проходит через прямую DE
, перпендикулярную плоскости SAB
, следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей (см. задачу 7710) плоскости SAB
и SCD
перпендикулярны.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 15.42, с. 174