9991. Точка
A
лежит в плоскости
\alpha
, точка
B
— в плоскости
\beta
. Эти плоскости перпендикулярны и пересекаются по прямой
m
. Расстояние от точек
A
и
B
до прямой
m
равны 8 и 15 соответственно. Найдите расстояние между прямыми
AB
и
m
.
Ответ.
\frac{120}{17}
.
Решение. Пусть
A_{1}
и
B_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно
A
и
B
на прямую
m
. Поскольку плоскости
\alpha
и
\beta
перпендикулярны, прямые
AA_{1}
и
BB_{1}
перпендикулярны плоскостям
\beta
и
\alpha
соответственно (см. задачу 7712).
Пусть
AA_{1}B_{1}C
— прямоугольник. Тогда
BC
— ортогональная проекция наклонной
AB
на плоскость
BB_{1}C
, перпендикулярную прямой
m
. Значит (см. задачу 8406), расстояние
d
между скрещивающимися прямыми
AB
и
m
равно расстоянию от точки
B_{1}
до прямой
BC
, т. е. высоте
B_{1}H
прямоугольного треугольника
BB_{1}C
, проведённой из вершины
B_{1}
прямого угла, т. е. (см. задачу 1967)
d=B_{1}H=\frac{BB_{1}\cdot CB_{1}}{BC}=\frac{BB_{1}\cdot CB_{1}}{\sqrt{BB_{1}^{2}+CB_{1}^{2}}}=\frac{BB_{1}\cdot AA_{1}}{\sqrt{BB_{1}^{2}+AA_{1}^{2}}}=\frac{15\cdot8}{\sqrt{15^{2}+8^{2}}}=\frac{120}{17}.

Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 15.39, с. 174