9991. Точка A
лежит в плоскости \alpha
, точка B
— в плоскости \beta
. Эти плоскости перпендикулярны и пересекаются по прямой m
. Расстояние от точек A
и B
до прямой m
равны 8 и 15 соответственно. Найдите расстояние между прямыми AB
и m
.
Ответ. \frac{120}{17}
.
Решение. Пусть A_{1}
и B_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно A
и B
на прямую m
. Поскольку плоскости \alpha
и \beta
перпендикулярны, прямые AA_{1}
и BB_{1}
перпендикулярны плоскостям \beta
и \alpha
соответственно (см. задачу 7712).
Пусть AA_{1}B_{1}C
— прямоугольник. Тогда BC
— ортогональная проекция наклонной AB
на плоскость BB_{1}C
, перпендикулярную прямой m
. Значит (см. задачу 8406), расстояние d
между скрещивающимися прямыми AB
и m
равно расстоянию от точки B_{1}
до прямой BC
, т. е. высоте B_{1}H
прямоугольного треугольника BB_{1}C
, проведённой из вершины B_{1}
прямого угла, т. е. (см. задачу 1967)
d=B_{1}H=\frac{BB_{1}\cdot CB_{1}}{BC}=\frac{BB_{1}\cdot CB_{1}}{\sqrt{BB_{1}^{2}+CB_{1}^{2}}}=\frac{BB_{1}\cdot AA_{1}}{\sqrt{BB_{1}^{2}+AA_{1}^{2}}}=\frac{15\cdot8}{\sqrt{15^{2}+8^{2}}}=\frac{120}{17}.