9992. Плоскости прямоугольников ABCD
и BEFC
перпендикулярны, AB=15
, BE=20
. Найдите расстояние между прямыми BC
и DE
.
Ответ. 12
.
Решение. Прямая BC
перпендикулярна пересекающимся прямым CD
и CF
плоскости DCF
, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (см. задачу 7700) прямая BC
перпендикулярна этой плоскости, а тогда DF
— ортогональная проекция прямой DE
на эту плоскость. Значит (см. задачу 8406), расстояние d
между скрещивающимися прямыми BC
и DE
равно расстоянию от точки C
до прямой DF
, т. е. высоте CH
прямоугольного треугольника DCF
, проведённой из вершины C
прямого угла, т. е. (см. задачу 1967)
d=CH=\frac{CD\cdot CF}{DF}=\frac{CD\cdot CF}{\sqrt{CD^{2}+CF^{2}}}=\frac{15\cdot20}{\sqrt{15^{2}+20^{2}}}=12.