13752. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине A
угол B
меньше угла C
. Касательная к описанной окружности \Omega
треугольника ABC
пересекает прямую BC
в точке D
. Точка E
симметрична точке A
относительно прямой BC
, точка X
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую BE
, точка Y
— середина отрезка AX
, а прямая BY
вторично пересекает окружность \Omega
в точке Z
. Докажите, что прямая BD
— касательная к описанной окружности треугольника ADZ
.
Решение. Точка E
лежит на окружности \Omega
, так как окружность симметрична относительно любого своего диаметра (см. задачу 1677).
Пусть M
— точка пересечения AE
и BC
. Тогда M
— середина хорды AE
(см. задачу 1676), а так как Y
— середина отрезка AX
, то MY
— средняя линия прямоугольного треугольника AXE
. Значит, YM\parallel BE
.
Тогда
\angle ZYM=\angle ZBE=\angle ZAE=\angle ZAM,
поэтому точки A
, Y
, M
и Z
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Значит, \angle YAM=\angle YZM
. Следовательно,
\angle BAX=\angle BAE-\angle YAM=\angle BZE-\angle YZM=\angle MZE.
Кроме того,
\angle ABX=\angle ABE=\angle EAD=\angle MAD
(см. задачу 87), поэтому
\angle BAX=90^{\circ}-\angle ABX=90^{\circ}-\angle MAD=\angle ADM=\angle EDM.
Значит, \angle MZE=\angle EDM
, и точки M
, E
, D
и Z
лежат на одной окружности. Тогда
\angle ZDM=\angle ZEM=\angle ZEA=\angle ZAD.
Следовательно (см. задачу 144), BD
— касательная к описанной окружности треугольника ADZ
. Что и требовалось доказать.