10014. Две окружности радиусов R
и r
пересекаются в точках A
и B
. Угол между радиусами разных окружностей, проведёнными в каждую из точек пересечения, равен \alpha
. В окружности радиуса r
взята хорда KM=a
. Прямые KA
, KB
, MA
и MB
вторично пересекают другую окружность в четырёх точках. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках.
Ответ. Если a\lt2r\sin\alpha
, то \frac{R^{2}a\sqrt{4r^{2}-a^{2}}\sin^{2}\alpha}{r^{2}}
;
если a\geqslant2r\sin\alpha
, то \frac{a^{2}R^{2}\sin2\alpha}{2r^{2}}
.
Решение. Пусть прямые KB
и MA
пересекают вторично другую окружность соответственно в точках F
и C
, а прямые KA
и MB
— соответственно в точках D
и E
. Тогда FC\parallel KM
и DE\parallel CF
(см. задачу 25). Значит, четырёхугольник CDEF
— равнобедренная трапеция (или прямоугольник).
Прямые KA
и KB
высекают на другой окружности хорду DF
, длина которой не зависит от положения точки K
на соответствующей дуге AB
первой окружности (см. задачу 1438). Поэтому, чтобы найти DF
достаточно рассмотреть случай, когда KB
(или KA
) — диаметр первой окружности. Тогда
CE=DF=BD\sin\angle DBF=2R\sin\alpha.
Пусть \angle KAM=\angle DAC=\beta
. Тогда
\sin\beta=\frac{KM}{2r}=\frac{a}{2r},
поэтому
EF=2R\sin\beta=2R\cdot\frac{a}{2r}=\frac{aR}{r}.
Таким образом, задача сводится к вычислению площади равнобедренной трапеции (или прямоугольника).
Рассмотрим случай, когда боковая сторона трапеции равна \frac{aR}{r}
, а диагональ равна 2R\sin\alpha
(рис. 1), т. е. когда \frac{aR}{r}\lt2R\sin\alpha
, или a\lt2r\sin\alpha
.
Пусть боковая сторона CD
равнобедренной трапеции CDEF
, вписанной в окружность радиуса R
, равна c
, диагональ DF
равна d
, площадь равна S
, угол между диагональю и основанием равен \gamma
. Опустим перпендикуляр DH
из вершины D
на основание CF
(рис. 2). Тогда
\sin\gamma=\sin\angle DFH=\frac{CD}{2R}=\frac{c}{2R},~\cos\gamma=\sqrt{1-\frac{c^{2}}{4R^{2}}}=\frac{\sqrt{4R^{2}-c^{2}}}{2R},
Пусть Q
— точка пересечения диагоналей трапеции. Тогда (см. задачу 3018)
S=\frac{1}{2}DF\cdot CE\sin\angle DQC=\frac{1}{2}DF^{2}\sin2\gamma=\frac{1}{2}d^{2}\cdot2\sin\gamma\cos\gamma=
=\frac{1}{2}d^{2}\cdot\frac{c}{2R}\cdot\frac{\sqrt{4R^{2}-c^{2}}}{2R}=\frac{d^{2}c\sqrt{4R^{2}-c^{2}}}{4R^{2}}.
Если c=\frac{aR}{r}
и d=2R\sin\alpha
, то
S=\frac{4R^{2}\sin^{2}\alpha\cdot\frac{aR}{r}\cdot\sqrt{4R^{2}-\frac{a^{2}R^{2}}{r^{2}}}}{4R^{2}}=\frac{aR^{2}\sqrt{4r^{2}-a^{2}}\sin^{2}\alpha}{r^{2}}.
Если a\geqslant2r\sin\alpha
(рис. 2), то c=2R\sin\alpha
и d=\frac{aR}{r}
. В этом случае
S=\frac{\frac{a^{2}R^{2}}{r^{2}}\cdot2R\sin\alpha\cdot\sqrt{4R^{2}-4R^{2}\sin^{2}\alpha}}{4R^{2}}=\frac{a^{2}R^{2}\sin2\alpha}{2r^{2}}.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1996-1997, III, 3-й тур, 10 класс