10127. Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник. Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135^{\circ}
.
Решение. Пусть m
, h
и l
— медиана, высота и биссектриса, проведённые из вершины какого-то угла треугольника. Поскольку m\geqslant h
и m\geqslant l
(см. задачу 3522), а из отрезков m
, h
и l
нельзя составить треугольник, то m\geqslant l+h
(см. задачу 4268).
Пусть AL
— биссектриса треугольника ABC
. Предположим, что угол между медианой AM
и высотой AH
не больше 60^{\circ}
. Тогда из прямоугольного треугольника AMH
получаем, что \angle AMH\geqslant30^{\circ}
. Значит, AM\leqslant2AH
, а AL+AH\geqslant AH+AH=2AH
, причём равенство не достигается одновременно. Тогда AM\lt AL+AH
, что невозможно. Таким образом, из условия задачи следует, что угол между каждой медианой и соответствующей высотой больше 60^{\circ}
. Поскольку в треугольнике наименьший угол не больше 60^{\circ}
(см. задачу 1197), то какая-то высота проходит вне треугольника, значит, он тупоугольный.
Пусть теперь A
— вершина тупого угла, а точка M
принадлежит отрезку BH
. По доказанному \angle AMH\lt30^{\circ}
. По теореме о внешнем угле треугольника \angle AMH=\angle ABM+\angle BAM
. Медиана, проведённая из вершины тупого угла треугольника, меньше половины противолежащей стороны (см. задачу 3550), поэтому \angle ABM\lt15^{\circ}
.
Высота, проведённая из вершины B
, образует угол больше 60^{\circ}
с соответствующей медианой и, тем более, со стороной BC
, поэтому \angle C\lt30^{\circ}
. Следовательно,
\angle A=180^{\circ}-\angle C-\angle B\gt180^{\circ}-15^{\circ}-30^{\circ}=135^{\circ}.