10171. Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть a
и b
— длины двух сторон треугольника, x
и y
— длины отрезков, на которые высота делит третью сторону, равную c
, p
— полупериметр треугольника (если основание высоты лежит вне стороны, длину одного из отрезков считаем отрицательной). Тогда по теореме Пифагора
x^{2}-y^{2}=a^{2}-b^{2}.
С другой стороны, точка касания вписанной окружности делит сторону на отрезки, равные p-a
и p-b
(см. задачу 219). Значит, условие задачи равносильно равенству
p-a-\frac{x+y}{2}=p-b-y,~\mbox{или}~x-y=2(a-b).
Разделив первое равенство на второе, получим, что длина третьей стороны равна
x+y=\frac{1}{2}(a+b)=\frac{1}{2}(2p-c)=p-\frac{1}{2}c,~\mbox{или}~c=p-\frac{1}{2}c,
откуда c=\frac{2p}{3}
.
Второй способ. Пусть c
— длина стороны AB
треугольника ABC
, r
— радиус вписанной окружности треугольника p
— полупериметр треугольника, S
— площадь.
Пусть K
и P
— точки касания с этой стороной вписанной и вневписанной окружностей соответственно, M
— середина стороны AB
, I
и Q
— центры этих окружностей.
При гомотетии с центром C
точка P
переходит в точку T
вписанной окружности, диаметрально противоположную точке K
(см. задачу 802), а так как M
— середина отрезка PK
(см. задачу 4805), то MI
— средняя линия треугольника PKT
. Значит, MI\parallel CP
.
Пусть N
— точка пересечения прямых MI
и CH
. Тогда четырёхугольник CTIN
— параллелограмм, поэтому CN=IT=IK=r
, а так как по условию задачи K
— середина MH
, то NH=2IK=2r
. Следовательно, CH=3r
.
Тогда S=\frac{1}{2}c\cdot CH=pr
, или \frac{1}{2}c\cdot3r=pr
. Следовательно, c=\frac{2p}{3}
.
Примечание. Обратное утверждение также верно: если c=\frac{2p}{3}
, то KM=KH
.
Действительно, из равенства a^{2}-b^{2}=x^{2}-y^{2}
следует, что (a-b)(a+b)=(x-y)(x+y)
, или (a-b)(2p-c)=(x-y)c
. С другой стороны,
KM=KH~\Leftrightarrow~p-a-\frac{c}{2}=p-b-x~\Leftrightarrow~a-b=\frac{x-y}{2}~\Leftrightarrow~2p-c=2c~\Leftrightarrow~c=\frac{2p}{3}.