10186. На вписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AC
в точке S
, нашлась такая точка Q
, что середины отрезков AQ
и QC
также лежат на вписанной окружности. Докажите, что QS
— биссектриса угла AQC
.
Решение. Первый способ. Пусть K
и L
— середины отрезков AQ
и QC
. Тогда KL
— средняя линия треугольника AQC
, поэтому хорда KL
параллельна касательной AC
. Тогда дуги KS
и LS
вписанной окружности треугольника ABC
, не содержащие точки Q
, равны. Значит, равны опирающиеся на них вписанные углы KQS
и LQS
. Следовательно, QS
— биссектриса угла AQC
.
Второй способ. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
AS^{2}=AK\cdot AQ=\frac{1}{2}AQ^{2},~CS^{2}=\frac{1}{2}CQ^{2},
поэтому \frac{AS}{CS}=\frac{AQ}{CQ}
. Следовательно, QS
— биссектриса треугольника AQC
(см. задачу 1510).
Примечание. Заметим, что Q
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
и описанной окружности треугольника AQC
. Действительно, если O
— точка вписанной окружности треугольника ABC
, диаметрально противоположная точке Q
, то OK\perp AQ
и OL\perp CQ
. Значит, OK
и OL
— серединные перпендикуляры к сторонам AQ
и CQ
треугольника ABC
, т. е. O
— центр описанной окружности этого треугольника. Кроме того, центры обеих окружностей лежат на прямой, проходящей через точку Q
, следовательно, Q
— точка касания окружностей.
Отмеченный факт можно также получить из леммы Архимеда о сегменте (см. задачу 89).
Автор: Васильев М. Ю.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2017, LXXX, 11 класс